Realteil und Imaginärteil < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Den komplexen Sinus sin: [mm] \IC\to \IC [/mm] und den komplexen
Cosinus cos: [mm] \IC\to \IC [/mm] definieren wir durch
sin(z):= [mm] \bruch{e^{iz} -e^{-iz}}{2i} [/mm] und cos(z):= [mm] \bruch{e^{iz} +e^{-iz}}{2}
[/mm]
a) Bestimmen sie Relteil und Imaginärteil von sin(z) und cos(z).
b) Zeigen sie: Sinus und Cosinus sind ganze Funktionen mit:
sin´(z)= cos(z9 und cos´(z)= sin(z)
2. Zeigen sie: Die Funktion f: [mm] \IC\to \IC, [/mm] f(z):= |z| ist nirgends komplex differenzierbar. |
Ich weiß gar nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Eigentlich bräuchte ich gute Analysiskenntnisse, die habe ich aber aufgrund langer Krankheit nicht.
ich mache Analysis (gerade begonnen) und Funktionentheorie gleichzeitig, da ich sonst mit meinem Studium in Verzug komme.
Ich hoffe , ich kriege das trotzdem irgendwie hin.
Brauche bei der Aufgabe echt Hilfe!
Grüße
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich weiß gar nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> Eigentlich bräuchte ich gute Analysiskenntnisse, die habe
> ich aber aufgrund langer Krankheit nicht.
>
> ich mache Analysis (gerade begonnen)
Meinst du die Analysis I?
> und Funktionentheorie
> gleichzeitig, da ich sonst mit meinem Studium in Verzug
> komme.
> Ich hoffe , ich kriege das trotzdem irgendwie hin.
Ich weiss nicht wie deine Situation genau aussieht und was dein Hintergrund so ist, aber: du versuchst, eine einfuehrende Vorlesung zur Analysis gleichzeitig mit einer weiterfuehrenden Vorlesung (Funktionentheorie) zu hoeren, die auf Analysis I und II aufbaut. Das kannst du zwar machen, solltest du aber nur wenn du schon einen guten Ueberblick ueber die Analysis hast. Wenn du den nicht hast, lass es lieber und konzentrier dich erstmal auf die Analysis I.
Und nun zur Frage: Da steht doch recht genau, was du machen sollst. Du musst schon genauer sagen, an welchen Stellen du Probleme hast. Was ein Real- und Imaginaerteil ist weisst du doch, oder?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 So 25.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Ich muss beide Teile belegen. Ich komme da nicht drumherum. Sonst verzögert sich mein Studium und das soll ja nicht grad so sein.
Also meinst du es wäre irgendwie möglich, wenn ich mit Analysis II einigermaßen zurecht komme?
Ich weiß was bei der Aufgabe gemeint ist. Also ich weiß was Realteil und Imaginärteil ist weiß ich. Aber ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen soll.
Gruß
Mathegirl
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Ich habe mir das mal an einem anderen Beispiel versucht klar zu machen:
z= [mm] \bruch{4+5j}{1+\wurzel{3}j}
[/mm]
Das ganze muss ich nun mit [mm] 1-\wurzel{3}j [/mm] erweitern, Also
z= [mm] \bruch{4+5j}{1+\wurzel{3}j} *\bruch{1-\wurzel{3}j}{1-\wurzel{3}j}
[/mm]
= [mm] \bruch{(4+5j)*(1-\wurzel{3}j)}{(1+\wurzel{3}j)*(1-\wurzel{3}j)} [/mm]
= [mm] \bruch{(4+5j)*(1-\wurzel{3}j)}{(1^2-(\wurzel{3}j)^2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(4+5j)*(1-\wurzel{3}j)}{1+3} [/mm] = [mm] \bruch{(4+5j)*(1-\wurzel{3}j)}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{(4+5\wurzel{3})+(5-4\wurzel{3})j}{4}
[/mm]
Also ist dann der Realteil: [mm] \bruch{(4+5\wurzel{3})}{4} [/mm] und der Imaginärteil [mm] \bruch{(5-4\wurzel{3})}{4}
[/mm]
Stimmt das so? und wenn ja, kann ich nach dem Prinzip auch die Aufgabe lösen? Aber das ist glaub ich nicht auf Hochschulcharakter sondern mehr was für die Schule wie ich das hier gerechnet habe , oder?
Grüße
Mathegirl
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> Ich habe mir das mal an einem anderen Beispiel versucht
> klar zu machen:
>
> z= [mm]\bruch{4+5j}{1+\wurzel{3}j}[/mm]
> Das ganze muss ich nun mit [mm]1-\wurzel{3}j[/mm] erweitern, Also
>
> z= [mm]\bruch{4+5j}{1+\wurzel{3}j} *\bruch{1-\wurzel{3}j}{1-\wurzel{3}j}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{(4+5j)*(1-\wurzel{3}j)}{(1+\wurzel{3}j)*(1-\wurzel{3}j)}[/mm]
> = [mm]\bruch{(4+5j)*(1-\wurzel{3}j)}{(1^2-(\wurzel{3}j)^2)}[/mm]
> [mm]=\bruch{(4+5j)*(1-\wurzel{3}j)}{1+3}[/mm] =
> [mm]\bruch{(4+5j)*(1-\wurzel{3}j)}{4}[/mm]
> = [mm]\bruch{(4+5\wurzel{3})+(5-4\wurzel{3})j}{4}[/mm]
>
> Also ist dann der Realteil: [mm]\bruch{(4+5\wurzel{3})}{4}[/mm] und
> der Imaginärteil [mm]\bruch{(5-4\wurzel{3})}{4}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Hallo,
vom Prinzip her ist das richtig, die Zahlen nachgeschaut hab' ich nicht.
> und wenn ja, kann ich nach dem Prinzip auch
> die Aufgabe lösen? Aber das ist glaub ich nicht auf
> Hochschulcharakter sondern mehr was für die Schule wie
> ich das hier gerechnet habe , oder?
Na, das wäre kein Hinderungsgrund...
Aber der Fall ist in Deiner Aufgabe ja deutlich "komplexer" gelagert als in diesem Beispiel hier.
Du hast es ja u.a. mit [mm] e^{iz} [/mm] zu tun, und dessen Darstellung als a+ib mit [mm] a,b\in \IR [/mm] ist ja gar nicht intuitiv klar, so daß ich befürchte, daß Du Dich erstmal damit befassen mußt - wie ich in meiner anderen Antwort schrieb.
Gruß v. Angela
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> Den komplexen Sinus sin: [mm]\IC\to \IC[/mm] und den komplexen
> Cosinus cos: [mm]\IC\to \IC[/mm] definieren wir durch
>
> sin(z):= [mm]\bruch{e^{iz} -e^{-iz}}{2i}[/mm] und cos(z):=
> [mm]\bruch{e^{iz} +e^{-iz}}{2}[/mm]
>
> a) Bestimmen sie Relteil und Imaginärteil von sin(z) und
> cos(z).
Hallo,
hier würde ich mal mit der Exponentialreihe heranzugehen versuchen.
Gruß v. Angela
> b) Zeigen sie: Sinus und Cosinus sind ganze Funktionen
> mit:
>
> sin´(z)= cos(z9 und cos´(z)= sin(z)
>
>
> 2. Zeigen sie: Die Funktion f: [mm]\IC\to \IC,[/mm] f(z):= |z|
> ist nirgends komplex differenzierbar.
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ich verstehe es trotzdem irgendwie überhaupt nicht....vielleicht kann mir das jemand an einem konkreten Beipiel, auch mit Eponentialfunktion darlegen. ich bemühe mich wirklich sehr, verstehe es aber nicht..
Grüße,
Mathegirl
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> ich verstehe es trotzdem irgendwie überhaupt
> nicht....
Hallo,
mit "ich verstehe es nicht" kann man immer so wenig anfangen, wenn man helfen möchte, weil das ominöse "ES" so unklar ist.
Was genau verstehst Du denn nicht?
Den prinzipiellen Arbeitsauftrag, das Angeben von Real- und Imaginärteil hast Du ja verstanden.
> vielleicht kann mir das jemand an einem konkreten
> Beipiel, auch mit Eponentialfunktion darlegen. ich bemühe
> mich wirklich sehr, verstehe es aber nicht..
Wie weit bist Du denn gekommen?
1.
Hast Du die Exponentialreihen mal aufgeschreiben?
Die beiden vielleicht sogar schon addiert?
2.
Nun ist [mm] e^{iz} [/mm] mit [mm] z\in \IC [/mm] ja ein bißchen aufregend, weil [mm] z\in \IC [/mm] .
Man ist gut gewöhnt an [mm] e^x [/mm] mit [mm] x\in \IR, [/mm]
und auch [mm] e^{iy} [/mm] mit [mm] y\in \IR [/mm] schluckt man im Studium meist schnell und kann den Realteil und Imaginärteil angeben.
Nun kommt das Nachdenken über [mm] e^{iz} [/mm] mit [mm] z\in \IC. [/mm] Mit z:=x+iy [mm] (x,y\in \IR) [/mm] hat man also [mm] e^{iz}=e^{i(x+iy)}.
[/mm]
Es kommt mir vielversprechend vor, auch mal in dieser Richtung weiterzudenken - ich vermute, daß es nicht schadet, wenn man weiß wie die reellen Hyperbolischen Funktionen mit der e-Funktion zusammenhängen.
Ich habe nicht gesucht, bin mir aber ganz sicher, daß Du die Lösung Deiner Aufgabe mundgerecht irgendwo im Internet findest - wenn es darauf ankommt.
Mein Anliegen ist ein anderes: ich wollte Dir hiermit mal zeigen, wie man, wenn man (wie ich!) sehr wenig Erfahrung mit/Erinnerungen an Funktionen von [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IC [/mm] hat, sinnvoll aus den Kenntnissen im Reellen schöpfend an die Aufgabe herangehen könnte. (Und wenn das jetzt gar nicht sinnvoll war, dann wird mich sicher gleich jemand kritisieren.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:29 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela!
> 2.
> Nun ist [mm]e^{iz}[/mm] mit [mm]z\in \IZ[/mm] ja ein bißchen aufregend,
> weil [mm]z\in \IC[/mm] .
Soll das [mm] $\IZ$ [/mm] ein [mm] $\IC$ [/mm] sein?
> Man ist gut gewöhnt an [mm]e^x[/mm] mit [mm]x\in \IR,[/mm]
> und auch [mm]e^{iy}[/mm] mit [mm]y\in \IR[/mm] schluckt man im Studium meist
> schnell und kann den Realteil und Imaginärteil angeben.
> Nun kommt das Nachdenken über [mm]e^{iz}[/mm] mit [mm]z\in \IC.[/mm] Mit
> z:=x+iy [mm](x,y\in \IR)[/mm] hat man also [mm]e^{iz}=e^{i{x+iy}}.[/mm]
Du meinst [mm] $e^{i z} [/mm] = [mm] e^{i (x + i y)}$.
[/mm]
> Mein Anliegen ist ein anderes: ich wollte Dir hiermit mal
> zeigen, wie man, wenn man (wie ich!) sehr wenig Erfahrung
> mit/Erinnerungen an Funktionen von [mm]\IC[/mm] nach [mm]\IC[/mm] hat,
> sinnvoll aus den Kenntnissen im Reellen schöpfend an die
> Aufgabe herangehen könnte. (Und wenn das jetzt gar nicht
> sinnvoll war, dann wird mich sicher gleich jemand
> kritisieren.)
Ich finde es sinnvoll :)
LG Felix
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