Realteil und Imaginärteil < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mi 18.01.2012 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Habe hier einen komplexen Ausdruck: [mm] c_{k} [/mm] = [mm] \frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)} [/mm] mit k [mm] \in \IZ [/mm] und i [mm] \in \IC.
[/mm]
Ich will [mm] a_{k} [/mm] = 2 Realteil( [mm] c_{k} [/mm] ) und [mm] b_{k} [/mm] = 2 Imaginärteil( [mm] c_{k} [/mm] ) bestimmen. |
Laut Musterlösung kommt für
[mm] a_{k} [/mm] = 2 Realteil( [mm] c_{k} [/mm] ) = 2 [mm] \frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}
[/mm]
raus und für
[mm] b_{k} [/mm] = 2 Imaginärteil( [mm] c_{k} [/mm] ) = -2 [mm] \frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})} [/mm]
Frage ist, wie hat man es gemacht?
Eigentlich ist doch der ganze Ausdruck [mm] \frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)} [/mm] eine komplexe Zahl oder?
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Hallo zoj,
> Habe hier einen komplexen Ausdruck: [mm]c_{k}[/mm] =
> [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)}[/mm] mit k [mm]\in \IZ[/mm] und i [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Ich will [mm]a_{k}[/mm] = 2 Realteil( [mm]c_{k}[/mm] ) und [mm]b_{k}[/mm] = 2
> Imaginärteil( [mm]c_{k}[/mm] ) bestimmen.
>
> Laut Musterlösung kommt für
> [mm]a_{k}[/mm] = 2 Realteil( [mm]c_{k}[/mm] ) = 2
> [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}[/mm]
> raus und für
> [mm]b_{k}[/mm] = 2 Imaginärteil( [mm]c_{k}[/mm] ) = -2
> [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}[/mm]
>
> Frage ist, wie hat man es gemacht?
> Eigentlich ist doch der ganze Ausdruck
> [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)}[/mm] eine komplexe Zahl oder?
Die Musterlösung kann nur zustandekommen,
wenn "i" selbst als komplexe Zahl gesehen wird.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | zoj |
> Hallo zoj,
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> > Habe hier einen komplexen Ausdruck: [mm]c_{k}[/mm] =
> > [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)}[/mm] mit k [mm]\in \IZ[/mm] und i [mm]\in \IC.[/mm]
>
> >
> > Ich will [mm]a_{k}[/mm] = 2 Realteil( [mm]c_{k}[/mm] ) und [mm]b_{k}[/mm] = 2
> > Imaginärteil( [mm]c_{k}[/mm] ) bestimmen.
> >
> > Laut Musterlösung kommt für
> > [mm]a_{k}[/mm] = 2 Realteil( [mm]c_{k}[/mm] ) = 2
> > [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}[/mm]
> > raus und für
> > [mm]b_{k}[/mm] = 2 Imaginärteil( [mm]c_{k}[/mm] ) = -2
> > [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}[/mm]
> >
> > Frage ist, wie hat man es gemacht?
> > Eigentlich ist doch der ganze Ausdruck
> > [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)}[/mm] eine komplexe Zahl oder?
>
>
> Die Musterlösung kann nur zustandekommen,
> wenn "i" selbst als komplexe Zahl gesehen wird.
>
>
> Gruss
> MathePower
Tut mir leid, aber ich verstehe das nicht.
Bis jetzt war es ja so, dass man Realteil und Imaginärteil aufgeteilt hat.
Aber in diesen Fall geht es schlecht.
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Hallo zoj,
> > Hallo zoj,
> >
> >
> > > Habe hier einen komplexen Ausdruck: [mm]c_{k}[/mm] =
> > > [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)}[/mm] mit k [mm]\in \IZ[/mm] und i [mm]\in \IC.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich will [mm]a_{k}[/mm] = 2 Realteil( [mm]c_{k}[/mm] ) und [mm]b_{k}[/mm] = 2
> > > Imaginärteil( [mm]c_{k}[/mm] ) bestimmen.
> > >
> > > Laut Musterlösung kommt für
> > > [mm]a_{k}[/mm] = 2 Realteil( [mm]c_{k}[/mm] ) = 2
> > > [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}[/mm]
> > > raus und für
> > > [mm]b_{k}[/mm] = 2 Imaginärteil( [mm]c_{k}[/mm] ) = -2
> > > [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}[/mm]
> > >
> > > Frage ist, wie hat man es gemacht?
> > > Eigentlich ist doch der ganze Ausdruck
> > > [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)}[/mm] eine komplexe Zahl oder?
> >
> >
> > Die Musterlösung kann nur zustandekommen,
> > wenn "i" selbst als komplexe Zahl gesehen wird.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Tut mir leid, aber ich verstehe das nicht.
> Bis jetzt war es ja so, dass man Realteil und Imaginärteil
> aufgeteilt hat.
Nun, "i" ist nicht als "i" in a+i*b zu sehen,
sondern "i" ist selbst als komplexe Zahl zu sehen.
Z.B. i=u+j*v mit j die imaginäre Einheit.
> Aber in diesen Fall geht es schlecht.
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Do 19.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo MathePower,
ich verstehe deinen Ansatz auch nicht so ganz... Wenn man i als komplexe Zahl $u+jv$ auffasst, müssen doch u und v im Real- bzw. Imaginärteil vorkommen. Aber in der Musterlösung von zoj kann ich da nix rauslesen...
Schlüssiger wäre da für mich, wenn i die imaginäre Einheit ist. Die Musterlösung stimmt dann zwar auch nicht, aber wenn man beim Imaginärteil das "-" durch "k" ersetzt passt es.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo zoj,
> Habe hier einen komplexen Ausdruck: [mm]c_{k}[/mm] =
> [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)}[/mm] mit k [mm]\in \IZ[/mm] und i [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Ich will [mm]a_{k}[/mm] = 2 Realteil( [mm]c_{k}[/mm] ) und [mm]b_{k}[/mm] = 2
> Imaginärteil( [mm]c_{k}[/mm] ) bestimmen.
>
> Laut Musterlösung kommt für
> [mm]a_{k}[/mm] = 2 Realteil( [mm]c_{k}[/mm] ) = 2
> [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}[/mm]
> raus und für
> [mm]b_{k}[/mm] = 2 Imaginärteil( [mm]c_{k}[/mm] ) = -2
> [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1+k^{2})}[/mm]
>
> Frage ist, wie hat man es gemacht?
> Eigentlich ist doch der ganze Ausdruck
> [mm]\frac{sinh(\pi)}{\pi(1-ik)}[/mm] eine komplexe Zahl oder?
Ja, das ist eine komplexe Zahl und das "komplexe" steckt im Nenner, denn [mm]\sinh(\pi)[/mm] ist eine reelle Zahl.
Die Frage ist, ob "[mm]i\in\mathbb C[/mm]" bedeutet "[mm]i[/mm] ist (irgendeine) komplexe Zahl" oder vielleicht "[mm]i[/mm] ist die imaginäre Einheit, d.h. [mm]i:=\sqrt{-1}[/mm]". Was weißt du denn noch über dieses [mm]i[/mm]? Ich gehe mal von [mm] $i=\sqrt{-1}$ [/mm] aus...
Um das ganze auf die Form [mm]a+i*b[/mm] zu bringen, musst du den Bruch mit [mm]1+ik[/mm] erweitern.
Allerdings stimmt dann der Imaginärteil nicht mit der Musterlösung überein... Falls du alles richtig abgetippt hast, ist da irgendwo der Wurm drin...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Do 19.01.2012 | | Autor: | zoj |
OK, habe den Fehler gefunden.
In der Angabe ist i keine komplexe Zahl, sondern komplexe Einheit.
Was man machen musste war den Bruch mit den komplex-konjugierten Nenner malzunehmen.
Dann kann man den Bruch in Imaginär und Real-teil auflösen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> OK, habe den Fehler gefunden.
>
> In der Angabe ist i keine komplexe Zahl, sondern komplexe
> Einheit.
>
> Was man machen musste war den Bruch mit den
> komplex-konjugierten Nenner malzunehmen.
sicherlich nicht. Du meinst "erweitern". Nichts anderes hatte Fulla Dir vorgeschlagen. (Beachte: Wenn Du einen Bruch [mm] $a/b\,$ [/mm] mal zwei nimmst, verdoppelst Du ihn zu [mm] $2a/b\,$ [/mm] und veränderst ihn damit - wenn Du ihn mit [mm] $2\,$ [/mm] erweiterst, so rechnest Du [mm] $(a/b)*(2/2)=(2a)/(2b)\,,$ [/mm] veränderst den Bruch damit nicht!)
> Dann kann man den Bruch in Imaginär und Real-teil
> auflösen.
Besser: Man kann in der Form dann den Real- und Imaginarteil ablesen.
Ist nicht böse gemeint - aber gerade oben dieses "den Bruch mit einer Zahl malnehmen" für "den Bruch mit einer Zahl zu erweitern" wird so häufig verwendet, und sorgt immer und immer wieder für Verwirrung.
Ich wäre froh, man würde das auch mal etwa bei meinem Gehalt machen: Leider wird dieses in einer Bruchdarstellung nicht mit einer Zahl ($> [mm] 1\,$) [/mm] malgenommen, sondern man erweitert diesen Bruch immer nur :-(
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Do 19.01.2012 | | Autor: | zoj |
Ok, danke für den Hinweis!
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