Rechenformel u(x)^v(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 So 07.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie zu zwei differenzierbaren Funktionen u(x) und v(x) eine Rechenformel für die Ableitung der Funktion [mm] f(x)=u(x)^{v(x)}. [/mm] |
Ich komme hier nicht weiter...
Meine bisherigen Überlegungen sind:
[mm] f(x)=u(x)^{v(x)}=\underbrace{u(x)*u(x)*...u(x)}_{v(x)-mal}
[/mm]
Also müsste/könnte ich die Produktregel anwenden?
Dann irgendwie so weiter(Produktregel):
[mm] f'(x)=\underbrace{\underbrace{u(x)*...u(x)}_{v(x)-1 mal}*u'(x)+...+\underbrace{u(x)*...u(x)}_{v(x)-1 mal}*u'(x)}_{v(x) mal}
[/mm]
Hoffe man versteht was ich oben meine.
Und das könnte ich doch dann eigentlich auch so schreiben oder?
[mm] f'(x)=v(x)*u(x)^{v(x)-1}*u'(x)
[/mm]
Hoffe das ist nicht falsch.
Vielleicht gibt's noch mehrere Lösungen oder ich könnte noch weiter vereinfachen aber bin ich hier auf dem richtigen Weg?
Danke und Gruß,
tedd
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ne, ganz so geht das leider nicht.
Schreibe deine Funktion mal als [mm] f(x)=e^{ln(u(x))*v(x)} [/mm] und leite dann ab!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 So 07.09.2008 | | Autor: | tedd |
Okay ich probier's mal:
$ [mm] f(x)=e^{ln(u(x))\cdot{}v(x)} [/mm] $
[mm] =e^z
[/mm]
[mm] \to z=ln(u(x))\cdot{}v(x)
[/mm]
[mm] z'=\bruch{1}{u(x)}*v(x)+ln(u(x))*v'(x)
[/mm]
Dann Kettenregel anwenden:
[mm] f'(x)=\left(\bruch{1}{u(x)}*v(x)+ln(u(x))*v'(x)\right)*e^{ln(u(x))\cdot{}v(x)}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{1}{u(x)}*v(x)+ln(u(x))*v'(x)\right)*u(x)^{v(x)}
[/mm]
[mm] =u(x)^{v(x)-1}*v(x)+u(x)^{v(x)}*ln(u(x))*v'(x)
[/mm]
Ich habe irgendwie das dumme Gefühl, dass ich was falsch gemacht habe ... naja vielleicht ist's ja doch richtig.
Danke und Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 07.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ein bisschen nur :)
[mm] (ln(u(x)))'=\bruch{1}{u(x)}*u'(x)
[/mm]
Der Rest ist ok!
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 07.09.2008 | | Autor: | tedd |
Aye! Okay...
Also lautet die Formel:
[mm] f(x)=u(x)^{v(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{ln(u(x))*v(x)}*\left(\bruch{1}{u(x)}*u'(x)\cdot{}v(x)+ln(u(x))\cdot{}v'(x)\right)
[/mm]
[mm] =u(x)^{v(x)}*\left(\bruch{1}{u(x)}*u'(x)\cdot{}v(x)+ln(u(x))\cdot{}v'(x)\right)
[/mm]
[mm] =u(x)^{v(x)-1}*u'(x)\cdot{}v(x)+u(x)^{v(x)}*ln(u(x))\cdot{}v'(x)
[/mm]
?
Sieht komplizierter aus als ich erhofft hatte 
Danke für die Hilfe und besten Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 So 07.09.2008 | | Autor: | tedd |
Danke für die Hilfe!
Besten Gruß,
tedd
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
