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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mo 20.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Folgende Regel ist zu beweisen:
[mm] ab>0\gdw(a>0, [/mm] b>0 oder a<0, b<0)
Ich fange mal mit der Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] an.
a>0 und b>0 [mm] \Rightarrow [/mm] ab>0
oder
a<0 und b<0 [mm] \Rightarrow [/mm] ab>0
Jetzt die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] mit Fallunterscheidung
ab>0, entweder wenn a>0 und b>0 oder a<0 und b<0.
Reicht das als Beweis?
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> Folgende Regel ist zu beweisen:
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> [mm]ab>0\gdw(a>0,[/mm] b>0 oder a<0, b<0)
>
> Ich fange mal mit der Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] an.
>
> a>0 und b>0 [mm]\Rightarrow[/mm] ab>0
Ok, das ist normalerweise als Axiom vorgegeben, also insbesondere nicht beweisbar.
> oder
> a<0 und b<0 [mm]\Rightarrow[/mm] ab>0
Woher weißt du das? So ist das kein Beweis, du hast ja einfach nur die Behauptung hingeschrieben. Fange so an:
$a<0 [mm] \Rightarrow [/mm] -a >0$
>
> Jetzt die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm] mit Fallunterscheidung
>
> ab>0, entweder wenn a>0 und b>0 oder a<0 und b<0.
>
> Reicht das als Beweis?
Auch hier sehe ich kein Beweis.
Du darfst nur das benutzen, was ihr als Axiom bekommen habt, bzw. daraus bewiesen habt.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 20.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Hallo Patrick, danke für die Antwort.
Im Skript haben wir alle Axiome gezeigt.
a<0 [mm] \Rightarrow [/mm] -a >0 und b<0 [mm] \Rightarrow [/mm] -b >0
-a*-b>0
So gemeint?
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> Hallo Patrick, danke für die Antwort.
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> Im Skript haben wir alle Axiome gezeigt.
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> a<0 [mm]\Rightarrow[/mm] -a >0 und b<0 [mm]\Rightarrow[/mm] -b >0
> -a*-b>0
>
> So gemeint?
Ja, schon besser. Aber warum ist $ -a*-b>0$ ? In welchem Axiom steht das?
Spare nicht mit Zwischenschritten:
[mm] $\Rightarrow [/mm] -a*-b = (-1 *a) * (-1 * b)=(-1)*(-1)* a*b = a*b >0$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mo 20.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Danke, ich habe verstanden worauf es hinaus laufen muss. Werde mich dann an die nächsten versuchen.
Danke und schönen Abend noch :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 23.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Hallo,
ich habe noch eine Frage.
Wenn ich diesen Beweis in die andere Richtung zeigen möchte, reicht das dann so aus?
Nochmal die Regel.
[mm] ab>0\gdw(a>0 [/mm] und b>0 oder a<0 und b<0)
In die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] habe ich das bewiesen und jetzt muss man ja nach rechts beweisen.
ab>0 durch Fallunterscheidung
Wenn a<0, b>0 ...-a*b=(-1)*a*b<0
Wenn a>0, b<0...a*(-b)=a*(-1)*b=-ab<0
Wenn a>0, b>0...ab>0
Wenn a<b,b<a
[mm] -a\cdot{}-b [/mm] = (-1 [mm] \cdot{}a) \cdot{} [/mm] (-1 [mm] \cdot{} b)=(-1)\cdot{}(-1)\cdot{} a\cdot{}b [/mm] = [mm] a\cdot{}b [/mm] >0
Ist das so korrekt?
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Hallo,
ich finde es ganz schwer, Dir sinnvoll zu helfen, weil ich überhaupt nicht weiß, welche Axiome Dir zur Verfügung stehen und welche Folgerungen aus diesen in der Vorlesung bereits bewiesen wurden. Genau das ist ja das Material, mit welchem man hier arbeiten muß, und der Sinn dieser Aufgabe liegt darin, daß Du lernst, dieses Material streng logisch schließend zu verwenden. (Die eigentlich zu beweisende Aussage ist dagegen eher zweitrangig.)
Ich vermute mal, daß die Axiome fürs Rechnen im Körper verwendet werden dürfen.
Aber zumindest die Anordnungsaxiome in Eurer Formulierung, evtl. auch wichtige Folgerungen, müßtest Du mitteilen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Do 23.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe noch eine Frage.
> Wenn ich diesen Beweis in die andere Richtung zeigen
> möchte, reicht das dann so aus?
>
> Nochmal die Regel.
> [mm]ab>0\gdw(a>0[/mm] und b>0 oder a<0 und b<0)
>
> In die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] habe ich das bewiesen und jetzt
> muss man ja nach rechts beweisen.
>
> ab>0 durch Fallunterscheidung
> Wenn a<0, b>0 ...-a*b=(-1)*a*b<0
> Wenn a>0, b<0...a*(-b)=a*(-1)*b=-ab<0
> Wenn a>0, b>0...ab>0
wozu hier nochmal dieser Fall? Den hast Du schon in der anderen Richtung bewiesen...
> Wenn a<b,b<a
$b < a [mm] \text{?}$ [/mm] Kann man machen, nur: Wozu machst Du das an dieser Stelle?
> [mm]-a\cdot{}-b[/mm] = (-1 [mm]\cdot{}a) \cdot{}[/mm] (-1 [mm]\cdot{} b)=(-1)\cdot{}(-1)\cdot{} a\cdot{}b[/mm]
> = [mm]a\cdot{}b[/mm] >0
>
> Ist das so korrekt?
Man kann mit Fallunterscheidungen arbeiten, aber wenn Du schon "alle Fälle" dann abhandelst, kannst Du den Beweis dann am Ende führen, indem Du auf die Fallunterscheidungen hinweist. Das sähe dann in etwa so aus (da fehlen nun eigentlich ein paar Zwischenschritte):
Es gelten
$1.)$ $a,b > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*b > [mm] 0\,,$
[/mm]
$2.)$ $a,b < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*b > [mm] 0\,,$
[/mm]
$3.)$ $a [mm] \ge [/mm] 0, b< 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \le 0\,,$
[/mm]
$4.)$ $a < 0, b [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \le 0\,.$
[/mm]
Wegen 1.) und 2.) gilt [mm] $\Leftarrow$ [/mm] in der gegebenen Behauptung. Wenn die linke Seite von 1.) nicht gilt, dann muss die linke Seite von 3.) oder 4.) gelten, und dann kann offenbar nur noch $a*b [mm] \le [/mm] 0$ gelten. Gleiches gilt, wenn die linke Seite von 2.) nicht erfüllt ist. Also gilt auch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] in der behaupteten Aussage.
Aber ich würde das jetzt auch gar nicht mehr mit Fallunterscheidungen machen:
Für den Beweis (für $a,b [mm] \in \IR$) [/mm]
$$a*b > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (a > 0 [mm] \text{ und }b [/mm] > 0) [mm] \text{ oder }( [/mm] a < 0 [mm] \text{ und }b [/mm] < 0) [mm] \;\;\;\Big(\gdw [/mm] a [mm] \not=0 \text{ und }b\not=0 \text{ haben verschiedene Vorzeichen}\Big)$$
[/mm]
ist ein Beweis per Kontraposition (oder ein Widerspruchsbeweis) naheliegend:
Es ist also zu zeigen, dass, wenn nicht ($a < [mm] 0\,$ [/mm] und $b < [mm] 0\,$) [/mm] und wenn nicht ($a > [mm] 0\,$ [/mm] und $b > [mm] 0\,$) [/mm] - kurz gesagt: wenn [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] "verschiedene Vorzeichen" haben - dann folgt, dass $a*b [mm] \le [/mm] 0$ sein muss.
Also:
Wegen [mm] $a*b=b*a\,$ [/mm] können wir ohne Einschränkung $a > [mm] 0\,$ [/mm] und $b [mm] \le [/mm] 0$ annehmen (andernfalls vertauschen wir die Rollen von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$).Dann [/mm] ist $a > 0$ und $-b [mm] \ge [/mm] 0$ und es folgt...
(Du siehst: Im Prinzip läuft das aber fast detailgetreu so ab, wie oben mein "Beweis durch Fallunterscheidung", da die Verneinung von [mm] "$a\not=0$ [/mm] und [mm] $b\not=0$ [/mm] haben gleiches Vorzeichen" ja gerade die linken Seiten von 3.) und 4.) sind; im Sinne von: Es gilt die linke Seite von 3.) oder es gilt die linke Seite von 4.).)
Beste Grüße,
Marcel
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