Rechenregel im Vektorraum < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:31 Sa 20.11.2004 | | Autor: | tobes |
Hallo!
Im Leistungskurs Mathematik Klasse 13 behandeln wir zur Zeit Vektorräumen. Dabei beweisen wir auch einige Rechenregeln, die innerhalb dieser Vektorräume gelten und direkt aus den Vektorraumaxiomen herzuleiten sind.
Meine Frage ist nun, wie ich die folgende Aussage beweise:
r * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{0} \Rightarrow [/mm] r=0 [mm] \vee \vec{a}=\vec{0} [/mm] (r [mm] \in \IR [/mm] , [mm] \vec{a} \in [/mm] V)
Nun hab ich mir gedacht, dass eine Fallunterscheidung zu machen wäre.
1. Fall r [mm] \not= [/mm] 0: r * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{0} \gdw \bruch{1}{r} [/mm] * r * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] * [mm] \vec{0}. [/mm] Also 1* [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] * [mm] \vec{0} [/mm] und nach den Vektorraumaxiomen [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{0}.
[/mm]
Wie aber ist nun der zweite Fall für [mm] \vec{a} \not= \vec{0} [/mm] zu beweisen?
Ich will diesen Schritt nämlich direkt zeigen und NICHT durch einen Beweis durch Widerspruch. Hat jemand dazu eine Idee?
Vielen Dank schonmal
tobes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
[mm] r*\vec{a}=0 \gdw r*\vec{a}+(-r)*\vec{a}=0+(-r)*\vec{a}
[/mm]
[mm] \gdw 0=(-r)*\vec{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow r*\vec{a}=(-r)*\vec{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (da [mm] \vec{a}\not=0) [/mm] r=-r [mm] \gdw [/mm] r=0
mfg Verena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 20.11.2004 | | Autor: | tobes |
Warum folgt aus r [mm] \cdot \vec{a} [/mm] = (-r) [mm] \cdot \vec{a}, [/mm] dass r=(-r) ist wenn [mm] \vec{a} \not= [/mm] 0 ist ? Kann man das auf die Vektorraumaxiome zurückführen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also ich versuche mal, dir die einzelnen Schritte zu erklären, schreibe sie aber unter die Antwort...
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Ja, kann man, denn:
(-r)a ist nach VR-Axiomen ((-1)*r)*a=-1*(ra)=-ra.
=> aus ra=(-r)a => ra+ra=0 und mit Distributivgesetz (einmal in K, einmal in V):
(r+r)a=((1+1)r)a=(2r)a=0.
r muß, wenn a nicht der Nullvektor ist, dann aber das Nullelement im Körper sein, denn [mm]0_K*a = \lambda*0_V = 0_V (\lambda \in K)[/mm]
Dies kann man wiederum mit Hilfe der VR-Axiome beweisen, z.B. so:
[mm]0_K*a + 1_K*a = (0+1)*a = 1*a \Rightarrow 0_V = 0_K*a
\lambda*a = \lambda*a + 0_V = \lambda*(a+0_V) = \lambda*a + \lambda*0_V \Rightarrow \lambda*0_V = 0_V[/mm].
Das schwierige an solchen Geschichten ist, daß sie unserem Denken so vertraut sind, daß man sich schwertut, sie irgendwie auf ein möglichst kleines Fundament an Axiomen zurückzuführen.
Genau das ist aber die große Stärke die in der Algebra liegt und das, was irgendwie fasziniert. Mich zumindest.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier mal ein paar Erklärungen:
> [mm]r*\vec{a}=0 \gdw r*\vec{a}+(-r)*\vec{a}=0+(-r)*\vec{a}
[/mm]
hier wurde auf beiden Seiten [mm] (-r)*\vek{a} [/mm] addiert, also das Inverse zu [mm] r*\vek{a}
[/mm]
> [mm][mm] \gdw 0=(-r)*\vec{a}
[/mm]
Hier hast du genau ein Element und sein Inverses stehen, was das neutrale Element ergibt (im Fall der Addition also 0)
Jetzt hast du also zwei Gleichungen, die beide 0 sein sollen, also sind sie beide gleich und du kannst schreiben:
> [mm][mm] \Rightarrow r*\vec{a}=(-r)*\vec{a}
[/mm]
Nun gilt aber, dass ein Produkt genau dann = 0 ist, wenn mindestens einer der beiden Faktoren = 0 ist. Und wenn [mm] \vek{a}\not= [/mm] 0 ist, muss in der einen Gleichung r=0 sein und in der anderen (-r) = 0. Und wenn sowohl r als auch (-r) = 0 sind, dann sind sie natürlich beide gleich und es gilt r=(-r). Und diese Gleichung gilt nur für r=0, wie man sich leicht denken kann.
> [mm]\Rightarrow[/mm] (da [mm]\vec{a}\not=0)[/mm] r=-r [mm]\gdw[/mm] r=0
Ui, das letzte war vielleicht doch etwas seltsam formuliert, vielleicht nochmal etwas anders:
Wenn du hast:
[mm] r*\vec{a}=(-r)*\vec{a}
[/mm]
und dein a ist [mm] \not= [/mm] 0, dann kannst du durch a teilen und schon erhältst du r=-r, und das gilt nur für r=0.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 So 21.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bastiane,
> Wenn du hast:
> [mm] $r*\vec{a}=(-r)*\vec{a}$
[/mm]
> und dein a ist [mm]\not=[/mm] 0, dann kannst du durch a teilen und
> schon erhältst du r=-r, und das gilt nur für r=0.
Nein! Wo steht denn in den Vektorraumaxiomen, dass es eine Multiplikation zwischen zwei Vektorraumelementen gibt? Aber selbst wenn es die gäbe, bräuchte man immer noch die Existenz eines inveresen Elementes bzgl. dieser Multiplikation, denn die Division ist i.A. nichts anderes als die Multiplikation mit einem entsprechenden inversen Element (zumindest kenne ich das nicht anders).
Was man folgern kann:
Aus [mm] $r*\vec{a}=(-r)*\vec{a}$ [/mm] folgt (die Rechnung ist etwas verkürzt, da fehlen noch ein paar Zwischenschritte):
[mm] $\vec{0}=r*\vec{a}+r*\vec{a}=(r+r)*\vec{a}=2r*\vec{a}$
[/mm]
Ist nun $r=0$, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls ist auch [mm] $2r\not=0$, [/mm] und wir gehen vor wie im ersten Falle und erhalten [mm] $\vec{a}=\vec{0}$, [/mm] im Widerspruch (Mist, sowas wollten wir doch nicht) zu [mm] $\vec{a}\not=\vec{0}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:32 So 21.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo tobes,
> Hallo!
> Im Leistungskurs Mathematik Klasse 13 behandeln wir zur
> Zeit Vektorräumen. Dabei beweisen wir auch einige
> Rechenregeln, die innerhalb dieser Vektorräume gelten und
> direkt aus den Vektorraumaxiomen herzuleiten sind.
> Meine Frage ist nun, wie ich die folgende Aussage
> beweise:
>
> r * [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{0} \Rightarrow[/mm] r=0 [mm]\vee \vec{a}=\vec{0}[/mm]
> (r [mm]\in \IR[/mm] , [mm]\vec{a} \in[/mm] V)
>
> Nun hab ich mir gedacht, dass eine Fallunterscheidung zu
> machen wäre.
> 1. Fall r [mm]\not=[/mm] 0: r * [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{0} \gdw \bruch{1}{r}[/mm]
> * r * [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{r}[/mm] * [mm]\vec{0}.[/mm]
Naja, präzieser:
[mm] $r*\vec{a}=\vec{0}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{r}*\left(r*\vec{a}\right)=\frac{1}{r}*\vec{0}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $\left(\frac{1}{r}*r\right)*\vec{a}=\vec{0}$ [/mm] (Diesen Schritt ("Klammervertauschbarkeit") hattest du übersprungen; der Schritt ist aber nur zulässig wegen einem Vektorraumaxiom!)
[mm] $\gdw$
[/mm]
> Also 1* [mm]\vec{a}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{r}[/mm] * [mm]\vec{0}[/mm] und nach den Vektorraumaxiomen
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{0}.
[/mm]
Beachte aber hierbei, dass du in deine Beweis den Sachverhalt:
[mm] $(\star)$ $t*\vec{0}=\vec{0}$ $\forall [/mm] t [mm] (\in \IR?)$ [/mm] (oder betrachtet ihr sogar Vektorräume über einem beliebigen Körper?)
benutzt (und zwar an der Stelle, wo du aus [mm] $1*\vec{a}=\frac{1}{r}*\vec{0}$ [/mm] folgerst:
[mm] $\vec{a}=\vec{0}$. [/mm] Da steht nämlich drin, dass [mm] $\frac{1}{r}*\vec{0}=\vec{0}$ [/mm] gilt). Habt ihr das schon bewiesen?
>
> Wie aber ist nun der zweite Fall für [mm]\vec{a} \not= \vec{0}[/mm]
> zu beweisen?
Der zweite Fall ist nur ungünstig gewählt:
Wenn der erste Fall [mm] $r\not=0$ [/mm] ist, ist der zweite Fall doch $r=0$. Also hast du im zweiten Fall nichts zu beweisen (denn wenn $r=0$ gilt, dann gilt insbesondere ($r=0$ [mm] $\vee$ $\vec{a}=\vec{0}$)) [/mm]  .
(Bewiesen worden sollte dann aber bereits sein:
[mm] $0*\vec{a}=\vec{0}$ $\forall \vec{a} \in [/mm] V$. Habt ihr das schon bewiesen?)
Liebe Grüße,
Marcel
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