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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Fr 24.01.2014 | | Autor: | U_Brehm |
| Aufgabe | | Gegeben ist [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty, g(x)\ge [/mm] c. Zeigen sie: [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)+g(x))=\infty [/mm] |
Geht das so?
Sei [mm] \{x_n\}_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] x_0 \not=x_n\rightarrow x_0. [/mm] Dann gilt wegen [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty, [/mm] dass [mm] f(x_n)\rightarrow \infty. [/mm] Weiter gilt nach Voraussetzung: [mm] g(x)\ge c\forall x\Rightarrow g(x_n)\ge [/mm] c. Aus [mm] f(x_n)\rightarrow \infty [/mm] folgt: [mm] \forall \delta>0 \exists n_0 \forall n\ge n_0: f(x_n)\ge \delta \Rightarrow f(x_n)+g(x_n)\ge \delta [/mm] + c := [mm] R(\delta) \Rightarrow \forall R(\delta) \exists n_0 \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: f(x_n)+g(x_n)\ge R(\delta) \Rightarrow (f(x_n)+g(x_n))\rightarrow \infty. [/mm] Da [mm] \{x_n\}_{n\in \IN} [/mm] beliebige Folge mit [mm] x_0\not= x_n \rightarrow x_0 [/mm] und [mm] (f(x_n)+g(x_n))\rightarrow \infty \Rightarrow \limes_{x\rightarrow x_0}(f(x)+g(x))=\infty\Rightarrow [/mm] Behauptung [mm] \Box
[/mm]
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Hiho,
auch wenn sich das im Fließtext schrecklich liest, passt der Beweis so.
Ein bisschen Formatierung wäre schon nett für das nächste Mal.
Gruß,
Gono.
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