Rechenschritt nachvollziehen < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Do 01.10.2009 | | Autor: | Denny22 |
Guten Morgen an alle,
ich habe irgendwie Schwierigkeiten damit, den folgenden Rechenschritt nachzuvollziehen. Ich versuche das Problem etwas vereinfacht darzustellen:
Seien $v,h$ zwei [mm] $2\pi$-periodische [/mm] und hinreichend glatte (z.B.: [mm] $v,h\in C^{\infty}_0(\IR)$) [/mm] Funktionen. Weiter wissen wir, dass die folgende Gleichheit gilt
[mm] $\frac{d}{d\phi}v(\phi)=h(\phi)$ $\forall\,\phi\in\IR$
[/mm]
Nun haben wir die (komplexen) Fourierreihen dieser Funktionen vorliegen
[mm] $v(\phi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}v_ne^{in\phi}$
[/mm]
[mm] $h(\phi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_ne^{in\phi}$
[/mm]
Im Buch wird nun geschrieben, dass wegen der obigen Gleichung
[mm] $inv_ne^{in\phi}=h_ne^{in\phi}$ $\forall\,\phi\in\IR$ $\forall\,n\in\IZ$
[/mm]
gilt. Aber wie kommt man darauf, dass dies für die einzelnen Folgenglieder der Fourierreihe gelten muss? Bricht man dazu die Fourierreihe irgendwie ab? Und ist diese Umformung noch äquivalent? Ich habe bisweilen immer die Fourierreihen von $v$ und $h$ in die Ausgangsgleichung eingesetzt. Dann weiß ich jedoch nur, dass
[mm] $in\sum_{n=-\infty}^{\infty}v_ne^{in\phi}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_ne^{in\phi}$ $\forall\,\phi\in\IR$
[/mm]
gilt und kann über die einzelnen Summanden erst einmal nichts aussagen. Oder sehe ich das falsch?
Danke bereits vorab für die Hilfe.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Do 01.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
(*) [mm] $h_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f'(t)e^{-int} dt}$
[/mm]
und
[mm] $v_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(t)e^{-int} dt}$.
[/mm]
Partielle Integration in (*) führt zum Ziel !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 01.10.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Es ist doch
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> (*) [mm]h_n = \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f'(t)e^{-int} dt}[/mm]
>
> und
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> [mm]v_n = \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(t)e^{-int} dt}[/mm].
>
> Partielle Integration in (*) führt zum Ziel !
>
>
> FRED
Hallo Fred,
ich kann Deine Ausführungen leider nicht ganz umsetzen. Wofür steht bei Dir eigentlich das $f$ und $f'$? Also ich erhalte
[mm] $h_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{h(t)e^{-int} dt}\overset{\text{Part.Int.}}{=}in\int_{-\pi}^{\pi}h(t)e^{-int}dt$
[/mm]
[mm] $v_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{v(t)e^{-int} dt}$
[/mm]
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Do 01.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist doch
> >
> > (*) [mm]h_n = \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f'(t)e^{-int} dt}[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > [mm]v_n = \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(t)e^{-int} dt}[/mm].
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> >
> > Partielle Integration in (*) führt zum Ziel !
> >
> >
> > FRED
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> Hallo Fred,
>
> ich kann Deine Ausführungen leider nicht ganz umsetzen.
> Wofür steht bei Dir eigentlich das [mm]f[/mm] und [mm]f'[/mm]?
Pardon, da hab ich mich verschrieben.
Es ist [mm]h_n = \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{h(t)e^{-int} dt}= \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{v'(t)e^{-int}dt}[/mm]
und $ [mm] v_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{v(t)e^{-int} dt} [/mm] $
Wende part. Integration auf [mm] \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{v'(t)e^{-int}dt} [/mm] an
FRED
> Also ich
> erhalte
>
> [mm]h_n = \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{h(t)e^{-int} dt}\overset{\text{Part.Int.}}{=}in\int_{-\pi}^{\pi}h(t)e^{-int}dt[/mm]
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> [mm]v_n = \bruch{1}{2 \pi}\integral_{- \pi}^{\pi}{v(t)e^{-int} dt}[/mm]
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> Danke und Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 01.10.2009 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen und jetzt habe ich es auch hinbekommen (auch wenn mein eigentliches Problem etwas komplizierter ist, als das von mir hier präsentierte). Danke nochmal. Ciao
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