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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mi 03.06.2015 | | Autor: | Jura86 |
| Aufgabe 1 | [mm] f:\IC\to \IC, [/mm] f(z) [mm] :=\bruch{z}{|z|+a}
[/mm]
in fixiertes a>0
Zeigen Sie dass f in den in den Einheitskreis abbildet, d.h.
f(C) ⊂B :=z ∈C |z| < 1 |
| Aufgabe 2 | Berechnen sie die Umkehrfunktion.
f^-1 : [mm] B\to\IC
[/mm]
Dabei darf angenommen werden das f überhaupt invertierbar ist. |
| Aufgabe 3 | Veranschaulichen Sie die Funktion anhand von Polarkoordinaten.
[mm] f:\IC\to\ICf(z) :=\bruch{z}{|z|+a} [/mm] |
Wie kann ich so eine Funktion in die Polarkoordinaten einzeichnen ?
Wie berechne ich die Umkehrfunktion ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mi 03.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Jura86,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ad 1:
Wird klar in Polarkoordinaten: Jedes [mm] $x+iy\in \IC$ [/mm] lässt sich eindeutig darstellen als [mm] $x=r\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y=r\sin(\varphi)$ [/mm] mit [mm] $\varphi\in[0,2\pi[$ [/mm] und [mm] $r\in\IR$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |f(r\cos(\varphi)+ir\sin(\varphi))|=|\frac{r(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))}{r+a}|=|\frac{r}{r+a}|<1$ [/mm] für $a>0$.
Natürlich kannst du auch über die Eulersche Identität [mm] z\in \IC [/mm] durch [mm] $re^{i\varphi}$ [/mm] darstellen.
Ad 3: Wichtig ist bei der Darstellung der Funktion in Polarkoordinaten, dass der Anteil [mm] $\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)$ [/mm] durch den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] die Richtung angibt. Der Faktor [mm] $\frac{r}{r+a}$ [/mm] gibt an, mit welcher Länge der Punkt vom Ursprung entfernt ist. Dieser Abstand ist für jedes $a>0$ umso näher an $1$ (dem Rand des Einheitskreises), je größer $r$ wird und umso näher am Wert $0$, je näher $r$ an $0$ ist.
Es ist also [mm] $Im(f)=\{\frac{r}{r+a}(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))\in\IC|r\in\IR,\varphi\in[0,2\pi[\}=\{z\in\IC||z|<1\}=D^2\subseteq \IC$.
[/mm]
MfG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 So 07.06.2015 | | Autor: | Jura86 |
Danke Ladon !!
Man merkt du kennst dich gut aus !
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