Rechnen in Restklassenringen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Wir rechnen in [mm] \IZ \ /n \IZ\ [/mm] und schreiben [a] := a + [mm] n\IZ\ [/mm] für [mm] a\in\IZ\ [/mm]. Beantworten sie folgende Fragen, indem sie die richtige Lösung angeben.
(1) Es sei n = 1023 ; dann ist [mm] \left[ 2 \right]^{2005} [/mm] gleich
(a) [32] (b) [47] (c) [69]
(2) Es sei n = 17; dann ist [mm] \left[ 5 \right]^{-1} [/mm] gleich
(a) [5] (b) [7] (c) [12]
(3) Was ist die letzte Dezimalziffer von [mm] 3^{120409} [/mm]?
(4) Es sei n = 17; dann ist [7] [mm] \cdot\ [/mm] [4] + [5] gleich
(a) [16] (b) [14] (c) [5]
(5) Ist die Abbildung [mm] \IZ\ /6 \IZ\ \rightarrow \IZ\ /6 \IZ\ , a \rightarrow\ a \cdot\ u [/mm] für alle u [mm] \in\ [/mm] ( [mm] \IZ\ /6 \IZ\ [/mm] ) \ {[0]} surjektiv?
Es reicht eigentlich, wenn ihr mir nur die Antwort geben könntet. Eine Erklärung/Erläuterung dazu wäre natürlich super nett...!
Besten Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wir rechnen in [mm]\IZ \ /n \IZ\ [/mm] und schreiben [a] := a +
> [mm]n\IZ\[/mm] für [mm]a\in\IZ\ [/mm]. Beantworten sie folgende Fragen, indem
> sie die richtige Lösung angeben.
>
> (1) Es sei n = 1023 ; dann ist [mm]\left[ 2 \right]^{2005}[/mm]
> gleich
> (a) [32] (b) [47] (c) [69]
> (2) Es sei n = 17; dann ist [mm]\left[ 5 \right]^{-1}[/mm] gleich
> (a) [5] (b) [7] (c) [12]
> (3) Was ist die letzte Dezimalziffer von [mm]3^{120409} [/mm]?
> (4)
> Es sei n = 17; dann ist [7] [mm]\cdot\[/mm] [4] + [5] gleich
> (a) [16] (b) [14] (c) [5]
> (5) Ist die Abbildung [mm]\IZ\ /6 \IZ\ \rightarrow \IZ\ /6 \IZ\ , a \rightarrow\ a \cdot\ u[/mm]
> für alle u [mm]\in\[/mm] ( [mm]\IZ\ /6 \IZ\[/mm] ) \ {[0]} surjektiv?
>
> Es reicht eigentlich, wenn ihr mir nur die Antwort geben
> könntet. Eine Erklärung/Erläuterung dazu wäre natürlich
> super nett...!
Hallo,
einfach die Antworten zu liefern, wäre doch etwas billig...
Was hast du nicht verstanden, woran scheitert es?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:08 Di 15.11.2005 | | Autor: | Mitch |
@angela: natürlich reicht es eigentlich nur die Lösungen ohne den Lösungsweg zu erfahren, aber ich möchte euch ja keine Umstände bereiten! 
Es scheitert einfach daran, dass ich nicht weiß, wie man den Rest ausrechnen kann.
Also kann mir jemand den Lösungsweg erklären und mir die Fragen beantworten?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Di 15.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
> @angela: natürlich reicht es eigentlich nur die Lösungen
> ohne den Lösungsweg zu erfahren, aber ich möchte euch ja
> keine Umstände bereiten!
Du scheinst trotzdem den Sinn eines solchen Boards nicht ganz verstanden zu haben. Wenn Du Dich durch die Threads klickst, wirst Du merken, daß man hier gerne und ausführlich hilft, aber nur dann, wenn jemand wirklich Interesse daran hat, etwas zu verstehen.
Deine Aufgaben zu lösen dürfte vielen hier leicht fallen, aber so funktioniert das nicht. Das hier ist nicht die lockere Alternative zum Abschreiben. Wenn jemand hier hilft, dann nicht durch Vorsagen, sondern durch Anleiten. Es macht einfach Spaß zu sehen, daß jemand danach etwas verstanden hat, daß er das Problem danach selbständig lösen kann.
Du fragst nur nach der Lösung, und hast noch nicht einmal nötig, sinnvolle Einträge in Dein Profil (Background: 1. Klasse Grundschule) einzutragen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 15.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
Hallo,
nachdem ich zum Stil schon etwas geschrieben habe, jetzt noch etwas, was Dir vielleicht wirklich hilft:
> Wir rechnen in [mm]\IZ \ /n \IZ\ [/mm] und schreiben [a] := a +
> [mm]n\IZ\[/mm] für [mm]a\in\IZ\ [/mm]. Beantworten sie folgende Fragen, indem
> sie die richtige Lösung angeben.
Ich hoffe, die Grundlagen des Rechnen in Restklasseringen sind klar?
Wenn irgendwas an dem, was ich mache, unklar ist, frag nach!
> (1) Es sei n = 1023 ; dann ist [mm]\left[ 2 \right]^{2005}[/mm]
> gleich
> (a) [32] (b) [47] (c) [69]
Okay, [mm]2^{2005}[/mm] auszurechnen, und dann den Rest zu berechnen, ist wohl ausgeschlossen. Wie geht es geschickter? Vielleicht ist Dir aufgefallen, daß [mm]1023 = 2^{10}-1[/mm] bzw. [mm]2^{10} \equiv_{1023} 1[/mm]. Das kannst Du ausnutzen:
[mm]2^{2005}=\PI_{i=1}^{200} \left(2^{10}\right) \cdot 2^5[/mm]
Und, klingelt es? Wenn nicht: [mm][a\cdot b] = \left[[a] \cdot [b]\right][/mm], d.h. man kann Restklassen von Faktoren oder Summanden einzeln vorberechnen. Was steht dann da?
Zu den anderen Aufgaben schreibe ich nur Tipps hin, wenn Du Rückfragen hast und ernsthaft weiterrechnen möchtest, helfe ich gerne weiter!
> (2) Es sei n = 17; dann ist [mm]\left[ 5 \right]^{-1}[/mm] gleich
> (a) [5] (b) [7] (c) [12]
Probier doch einfach aus, was das multiplikativ Inverse zu 5 modulo 17 ist!
> (3) Was ist die letzte Dezimalziffer von [mm]3^{120409} [/mm]?
Die Frage läßt sich umformulieren, so daß sie genau der Frage (1) entspricht. In welchem Restklassering?
> (4)
> Es sei n = 17; dann ist [7] [mm]\cdot\[/mm] [4] + [5] gleich
> (a) [16] (b) [14] (c) [5]
Wenn Du da wirklich Probleme hast, solltest Du dir die Basics der Restklasserechnung nochmal anschauen.
> (5) Ist die Abbildung [mm]\IZ\ /6 \IZ\ \rightarrow \IZ\ /6 \IZ\ , a \rightarrow\ a \cdot\ u[/mm]
> für alle u [mm]\in\[/mm] ( [mm]\IZ\ /6 \IZ\[/mm] ) \ {[0]} surjektiv?
Wieder (deshalb auch die Kritik an den Fragen an sich): Hättest Du auch nur *probiert* die Aufgaben zu lösen, hättest Du hier schnell durch Probieren (es gibt nur 6 solche Abbildungen) eine Lösung finden können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo Matheraum!
Ich hab mir die Basics welche im Skript stehen angeschaut, trotzdem ist mir nicht ganz klar, wie die Aufgabe:
n=17, dann ist [7]*[4]+[3] = a)13, b)14, c)2
zu lösen ist.
Ich habe so umgeformt wie es in der Vorlesung steht, also aus
[mm] [7]*[4]+[3]=[7*4]+[3]=[28]+[3]=28+3+n\IZ
[/mm]
Und jetzt? Das mit dem Modulo ist sehr neu für mich. Was das bedeutet ist mir mittlerweile klar, nur kann ich mir bei dieser Aufgabe keinen richtigen Zusammenhang dazu herstellen. Was ist nun nach dieser Umformung noch zu tun?
Vielen Dank und gute Nacht!
MfG,
Olek
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> Hallo Matheraum!
> Ich hab mir die Basics welche im Skript stehen angeschaut,
> trotzdem ist mir nicht ganz klar, wie die Aufgabe:
> n=17, dann ist [7]*[4]+[3] = a)13, b)14, c)2
> zu lösen ist.
> Ich habe so umgeformt wie es in der Vorlesung steht, also
> aus
> [mm][7]*[4]+[3]=[7*4]+[3]=[28]+[3]=28+3+n\IZ[/mm]
> Und jetzt?
Moin,
beim Rechnen mit den Restklassen rechnet man nur mit den Resten. In Deinem Beispiel geht es um die Restklassen modulo 17, das bedeutet: es interessieren nur die Reste, welche bei der Divison durch 17 bleiben.
Zwei Elemente sind gleich, wenn sie bei der Division durch 17 denselben Rest lassen.
Daher ist [28]=[11], und damit bist Du dem richtigen Ergebnis ganz massiv auf der Spur...
Oder, so wie Du es gemacht hast:
[mm] [28]+[3]=28+3+17\IZ [/mm] =31 + [mm] 17\IZ= [/mm] 14 + 17*1 [mm] +17\IZ= 14+17\IZ=
[/mm]
Also, immer so viele Vielfache von 17 herausziehen, wie es geht.
Gruß v. Angela
Das mit dem Modulo ist sehr neu für mich. Was
> das bedeutet ist mir mittlerweile klar, nur kann ich mir
> bei dieser Aufgabe keinen richtigen Zusammenhang dazu
> herstellen. Was ist nun nach dieser Umformung noch zu tun?
> Vielen Dank und gute Nacht!
> MfG,
> Olek
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Olek |
Guten Morgen!
Dann war ich immerhin auf dem richtigen Weg. Ähnliche Aufgaben könnte ich jetzt glaub ich auch lösen, aber es gibt trotzdem noch welche mit Restklasse Ringen die mich verwirren:
Ist die Abbildung [mm] \IZ/6\IZ \to \IZ/6\IZ, [/mm] $a [mm] \mapsto [/mm] a*u$ [mm] \forall u\in (\IZ/6\IZ)\setminus{0} [/mm] injektiv?
Injektiv bedeutet ja: Wenn [mm] x_{1}\not=x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2})
[/mm]
Bedeutet das bezogen auf meine Aufgabe:
Wenn [mm] a_{1}\not=a_{2} \Rightarrow a_{1}*u\not=a_{2}*u?
[/mm]
Erstmal weiß ich jetzt nicht, ob diese Überlegung richtig ist, und wenn sie es ist, wie ich jetzt weiter vorgehen muß. Meine Vermutung ist, dass die Abbildung nicht injektiv ist, da sich in diesen Ringen ja alle Werte wiederholen, und dann kann man das bestimmt so hindeichseln dass man ein Gegenbeispiel erhält. Aber welche Werte kann ich denn für u und a einsetzen?
Vielen Dank für eure Hilfe und nen schönen Tag noch,
Olek
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> Ist die Abbildung [mm]\IZ/6\IZ \to \IZ/6\IZ,[/mm] [mm]a \mapsto a*u[/mm]
> [mm]\forall u\in (\IZ/6\IZ)\setminus{0}[/mm] injektiv?
Die Aufgabe lautete gewiß so:
Ist die Abbildung
[mm] f_u [/mm] : [mm] \IZ/6\IZ \to \IZ/6\IZ [/mm] mit
a [mm] \mapsto [/mm] a*u
[mm] \forall u\in (\IZ/6\IZ)\setminus{0}[/mm] [/mm] injektiv?
Man hat da also ein ganzes Büschel von Funktionen zu untersuchen, nämlich [mm] f_{[1]}, f_{[2]},..., f_{[5]}.
[/mm]
Die Frage ist nun, ob all diese Funktionen injektiv sind.
Deine Überlegungen hierzu gehen in die richtige Richtung, abgesehen davon, daß Du wohl nicht wüßtest, daß hier 5 Funktionen zu untersuchen sind und nicht nur eine.
Nun, die Menge [mm] \IZ/6\IZ [/mm] ist ja sooo übersichtlich, daß es gar nicht so viel Arbeit wäre, für jede fer Funktionen [mm] f_u [/mm] die Wertetabelle anzulegen.
Da kannst du direkt ablesen, ob die jeweilige Funktion injektiv ist!
Es ist genauso beweiskräftig, als wenn man mit x und y hantiert. Das macht man ja nur, um nicht soviel schreiben zu müssen, z.B. wenn man es mit ganz [mm] \IN [/mm] zu tun hat.
Also: mach Dir mal so Wertetabellen, das ist ganz lustig!
(injektiv nur für u=1 und u=5, Du wirst's sehen...)
Gruß v. Angela
> Injektiv bedeutet ja: Wenn [mm]x_{1}\not=x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2})[/mm]
>
> Bedeutet das bezogen auf meine Aufgabe:
> Wenn [mm]a_{1}\not=a_{2} \Rightarrow a_{1}*u\not=a_{2}*u?[/mm]
>
> Erstmal weiß ich jetzt nicht, ob diese Überlegung richtig
> ist, und wenn sie es ist, wie ich jetzt weiter vorgehen
> muß. Meine Vermutung ist, dass die Abbildung nicht injektiv
> ist, da sich in diesen Ringen ja alle Werte wiederholen,
> und dann kann man das bestimmt so hindeichseln dass man ein
> Gegenbeispiel erhält. Aber welche Werte kann ich denn für u
> und a einsetzen?
> Vielen Dank für eure Hilfe und nen schönen Tag noch,
> Olek
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
Zwei Fragen hab ich noch bevor ich gleich loslege mit den Tabellen:
1. Die Wertetabelle ist doch dann ein [mm] \IF_{6}, [/mm] mit Werten von 0-5, oder?!
2. Wie äußert sich dann die Injektivität? In dem ich bei zwei verschiedenen Werten trotzdem zweimal auf den gleichen Wert komme?
Muß ich die Additions- oder die Multiplikationstabelle aufschreiben? Oder beide?
Ich habe die Aufgabe überings genau so abgeschrieben wie sie auf dem Blatt steht, aber es ist bestimmt das gemeint was du aufgeschrieben hast.
MfG,
Olek
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> Hi,
> danke für die schnelle Antwort.
> Zwei Fragen hab ich noch bevor ich gleich loslege mit den
> Tabellen:
> 1. Die Wertetabelle ist doch dann ein [mm]\IF_{6},[/mm] mit Werten
> von 0-5, oder?!
Ja.
> 2. Wie äußert sich dann die Injektivität? In dem ich bei
> zwei verschiedenen Werten trotzdem zweimal auf den gleichen
> Wert komme?
Ja.
> Muß ich die Additions- oder die Multiplikationstabelle
> aufschreiben? Oder beide?
Für die Multiplikation. Denn die [mm] f_u [/mm] funktionieren ja so, daß jedes Element mit einem festen u multipliziert wird.
Bei [mm] f_4 [/mm] z.B hast Du
[mm] f_4(0)=0*4=0
[/mm]
[mm] f_4(1)=1*4=4
[/mm]
...
[mm] f_4(5)=5*4=2 [/mm] (und wenn Du jetzt nicht "hä?" sagst, sondern "Zwei. Klar!" , dann bin ich hocherfreut.)
>
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Mitch |
hey angela, großes Lob für die super Erklärung... jetzt habe ich es (hoffentlich) auch verstanden..!
Aber ist die Abbildung denn auch surjektiv?
Normalerweise ist sie doch trivialerweise surjetiv weil es ja zu jedem Element x aus $ [mm] \IZ/6\IZ [/mm] $ ein Element y aus $ [mm] \IZ/6\IZ [/mm] $ mit f(y)=x gibt. Oder nicht!?
Gruß
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> Aber ist die Abbildung denn auch surjektiv?
> Normalerweise
???
>ist sie doch trivialerweise
???
>surjetiv weil es
> ja zu jedem Element x aus [mm]\IZ/6\IZ[/mm] ein Element y aus
> [mm]\IZ/6\IZ[/mm] mit f(y)=x gibt. Oder nicht!?
> Gruß
Für surjektiv müßte in der Tat gelten, daß für alle y [mm] \in \IZ/6\IZ [/mm] ein x [mm] \in \IZ/6\IZ [/mm] existiert mit [mm] f_u(x)=xu=y.
[/mm]
Und wenn Du nun in die Wertetabellen guckst, siehst Du, daß das nicht bei allen [mm] f_u [/mm] der Fall ist. Du "triffst" vermöge [mm] f_u [/mm] nicht immer die ganze Menge.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Mitch |
aso... aber für [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_5 [/mm] wäre sie doch surjektiv, weil man doch dann die Funktionswerte 0,1,2,3,4,5 hätte und somit alle treffen würde! Oder sehe ich das jetzt wieder falsch?
Gruß Mitch
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> aso... aber für [mm]f_1[/mm] und [mm]f_5[/mm] wäre sie doch surjektiv, weil
> man doch dann die Funktionswerte 0,1,2,3,4,5 hätte und
> somit alle treffen würde! Oder sehe ich das jetzt wieder
> falsch?
> Gruß Mitch
Völlig richtig!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Olek |
Nabend!
Schönen Dank noch mal für die intensive Hilfe!
Das mit dem 4*5=2 ist komplett klar, und weswegen das alles dann nicht injektiv sein kann auch.
Die Sache mit den Restklasseringen hab ich jetzt verstanden.
MfG,
Olek
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 16.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
ich sitze im Moment an den selben Aufgaben. Bei einigen dieser Fragen könnte ich etwas Hilfe bzw. Bestätigung brauchen. Also:
Meine Lösung zur Frage nach der letzten Dezimalziffer von [mm] 3^{120409} [/mm] ist: 3
Zur Aufgabe n=1023; dann ist [mm] [2]^{2005} [/mm] gleich:
Hier verstehe ich den Ansatz den ihr gegeben habt und [mm] [2]^{2005} [/mm] ließe sich doch auch als [(((( [mm] [2]^{10} [/mm] ) hoch 10) hoch 10) hoch 2)] [mm] \* [2]^{5} [/mm] ausdrücken oder!? Dass [mm] [2]^{5} [/mm] die Restklasse [32] ergibt ist mir klar.
Aber müsste ich noch jeweils den Rest 1 aus jeder 10-er Potenz von 2 berücksichtigen?
Zur Aufgabe n=17; dann ist [mm] [5]^{-1} [/mm] gleich:
Hier blick ich überhaupt nicht durch. Könnte mir das jemand näher erläutern. Ist übrigens [mm] [5]^{-1} [/mm] = [mm] 1/[5]^{-1} [/mm] ?
Allgemein:
Solte man sich Gedanken machen, wenn man im 1.Semester diese Multiple-Choice Aufgaben nicht problemlos lösen kann, ob das Mathestudium das Richtige für einen ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mi 16.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
> ich sitze im Moment an den selben Aufgaben. Bei einigen
> dieser Fragen könnte ich etwas Hilfe bzw. Bestätigung
> brauchen.
Gerne!
> Meine Lösung zur Frage nach der letzten Dezimalziffer von
> [mm]3^{120409}[/mm] ist: 3
Richtig. [mm]3^{120409}=\left(3^{4}\right)^{30102}\cdot 3=\left(81\right)^{30102}\cdot 3=\left(1\right)^{30102}\cdot 3 (mod 10)[/mm]
> Zur Aufgabe n=1023; dann ist [mm][2]^{2005}[/mm] gleich:
>
> Hier verstehe ich den Ansatz den ihr gegeben habt und
> [mm][2]^{2005}[/mm] ließe sich doch auch als [(((( [mm][2]^{10}[/mm] ) hoch
> 10) hoch 10) hoch 2)] [mm]\* [2]^{5}[/mm] ausdrücken oder!? Dass
> [mm][2]^{5}[/mm] die Restklasse [32] ergibt ist mir klar.
Soweit, so gut!
> Aber müsste ich noch jeweils den Rest 1 aus jeder 10-er
> Potenz von 2 berücksichtigen?
Ja, aber wie bei der Aufgabe davor: Du multiplizierst ja die Reste, also hast Du
[mm]2^{2005}=\left(2^{10}\right)^{200}\cdot 2^5=\left(1024\right)^{200}\cdot 32=\left(1\right)^{200}\cdot 32 (mod 1023)[/mm]
Klar?
> Zur Aufgabe n=17; dann ist [mm][5]^{-1}[/mm] gleich:
>
> Hier blick ich überhaupt nicht durch. Könnte mir das jemand
> näher erläutern. Ist übrigens [mm][5]^{-1}[/mm] = [mm]1/[5]^{-1}[/mm] ?
Das ist ja eine Multiple-Choice-Aufgabe. Das Element [mm][5] ^{-1}[/mm] zeichnet sich vor allem dadurch aus, daß [mm][5]^{-1}\cdot [5] = 1[/mm].
Für welches der angegebenen Elemente ist das so?
> Solte man sich Gedanken machen, wenn man im 1.Semester
> diese Multiple-Choice Aufgaben nicht problemlos lösen kann,
> ob das Mathestudium das Richtige für einen ist?
Die Gedanken sollte man sich immer machen, aber Probleme mit Übungsaufgaben sollten noch laaaaaaaaange kein Grund sein, die Flinte ins Korn zu werfen.
Die Übungsaufgaben sind oft so konzipiert, daß man ordentlich dran knobeln kann/muß. Du scheinst Dich ernsthaft dahinterzuklemmen, und Du wirst (hoffentlich) merken, daß sich genau das auszahlt.
Wie schwer diese Aufgaben für Dich sein sollten, ist ohne Kenntnis der Vorlesung schwer zu beantworten, aber orientier' Dich lieber an solchen Fragen:
* Verstehe ich einen Teil der Vorlesungen noch ad hoc (Das muß nicht immer besonders viel sein)? Wie geht es anderen? Bin ich bereit, die Zeit zu investieren, um unklare, wichtige Sachen nachzuarbeiten? (Nicht verzweifeln, wenn auch mal Sachen dann noch unklar bleiben)
* Verstehe ich die Aufgaben auf den Übungsblättern noch? Kann ich immer noch einen Teil lösen? Wie geht es den anderen?
Wichtig, wenn man Aufgaben nicht lösen kann: Die Besprechung bringt nur etwas, wenn man wenigstens die Aufgabe verstanden hat. Es wird dir wie allen anderen oft genug passieren, daß Aufgaben unlösbar sind. Das ist nicht schlimm.
Du scheinst schon auf einem sehr guten Weg zu sein, wenn Du Dich so reinhängst, knobelst, und Dir hier helfen läßt, wenn was nicht klar ist. Bleib dabei und ich wette, daß Du bald einige Kommilitonen kennen wirst, die weit weniger Durchblick haben als Du.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Mi 16.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Danke,
das hab ich soweit alles verstanden.
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