Rechnen in endlichen Körpern < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 5 } \in M(2,2,\IF_{7})
[/mm]
b = [mm] \vektor{2 \\ 6}
[/mm]
|
hallöchen,
ich lerne gerade für meine Klausur und muss dafür in endlichen Körpern rechnen können.
Die negativen Zahlen wären dann ja: (Formel: -a = p-a)
a 0 1 2 3 4 5 6
-a 0 6 5 4 3 2 1
Nun bin ich dabei das LGS zu lösen:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & /2 \\ 0 & 6 & /2 }
[/mm]
also schreibe ich zweite Zeile:
6y = 2
Aber nun weiß ich nicht wie ich das lösen soll????
Normalerweise wäre das ja 1/3, aber was ist das nun im [mm] IF_{7} [/mm] ????
Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> A = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 5 } \in M(2,2,\IF_{7})[/mm]
>
> b = [mm]\vektor{2 \\ 6}[/mm]
>
>
> hallöchen,
> ich lerne gerade für meine Klausur und muss dafür in
> endlichen Körpern rechnen können.
>
> Die negativen Zahlen wären dann ja: (Formel: -a = p-a)
> a 0 1 2 3 4 5 6
> -a 0 6 5 4 3 2 1
>
> Nun bin ich dabei das LGS zu lösen:
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & /2 \\ 0 & 6 & /2 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also schreibe ich zweite Zeile:
> 6y = 2
> Aber nun weiß ich nicht wie ich das lösen soll????
> Normalerweise wäre das ja 1/3, aber was ist das nun im
> [mm]IF_{7}[/mm] ????
Da 2 und 7 teilerfremd sind, kannst du die Gleichung (Kongruenz) durch 2 kürzen und erhältst leichter zu rechnen:
$3y \ [mm] \equiv [/mm] \ 1 \ [mm] \mod{7}$
[/mm]
Hier willst du ja linkerhand auf [mm] $1\cdot{}y=y$ [/mm] kommen, musst also mit dem multiplikativ Inversen von 3 modulo 7 multiplizeren.
Das kannst du systematisch mit dem euklidischen Algorithmus berechnen, hier bei dem doch recht kleinen Modul 7 durch Hinsehen.
Es ist [mm] $3\cdot{}5=15 [/mm] \ [mm] \equiv [/mm] \ [mm] \red{1} [/mm] \ [mm] \mod{7}$
[/mm]
Denn [mm] $15=2\cdot{}7+\red{1}$
[/mm]
Das multiplikativ Inverse von $3$ modulo 7 ist also 5.
Das nun beiderseits dranmultiplizieren
Also $3y \ [mm] \equiv [/mm] \ 1 \ [mm] \mod{7}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 3\cdot{}5\cdot{}y=15y [/mm] \ [mm] \equiv 1\cdot{}y=\blue{y} [/mm] \ [mm] \equiv [/mm] \ [mm] 1\cdot{}5\blue{=5} [/mm] \ [mm] \mod{7}$
[/mm]
Lösung modulo 7 ist also $y=5$
Probe: [mm] $6\cdot{}5=30 [/mm] \ [mm] \equiv [/mm] 2 \ [mm] \mod{7}$
[/mm]
Denn [mm] $30=4\cdot{}7+2$
[/mm]
>
> Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte!!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hey schachuzipus,
danke für die schnelle antwort.
ich habe das zwar verstanden, finde aber das es ja wenn man das für den ganzen IF 7 ausrechnet anstrengend und zwit aufwenig.
Du hast etwas von einem euklidischen Algorithmus geschrieben, das sagt mir jedoch nichts, kannst du mir das damit mal erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 So 31.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich habe das zwar verstanden, finde aber das es ja wenn
> man das für den ganzen IF 7 ausrechnet anstrengend und
> zwit aufwenig.
Eigentlich dauert es nicht land: man hat [m]1*1=1[/m], [m]6=7-1=-1[/m] im Körper. Da dies die beiden einzigen Zahlen mit [m]x^2=1[/m] sind, kann man nun für 2 das Inverse suchen - 3, nein, 4 - passt schon, da [m]2*4=8=1[/m]. Dann bleibt zwangsläufig [m]3*5=1[/m] im Körper. Alle Inversen gefunden.
> Du hast etwas von einem euklidischen Algorithmus
> geschrieben, das sagt mir jedoch nichts, kannst du mir das
> damit mal erklären?
Ein bisschen viel für eine dirkete Erklärung, der Algorithmus wird zB ![[]](/images/popup.gif) im englischen Wiki ganz gut beschrieben. Damit kannst du das systemtaisch lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 So 31.01.2010 | | Autor: | tasjasofie |
alles klar,
vielen dank für eure hilfe
|
|
|
|
