Rechnen mit Absatzfunktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:54 Mi 27.02.2013 | | Autor: | mero |
| Aufgabe | Es ist eine Absatzfunktion mit [mm] A(t)=\frac{20}{63}\cdot t^3 [/mm] + [mm] \frac{80}{21}\cdot t^2 [/mm] (t in Tagen) für eine 14-tägige Zeitschrift gegeben.
Könnte mir kurz jemand zu meinen Ansätzen sagen, ob sie richtig sind? |
a) Zunächst ist der ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich gefragt.
Nullstellen berechnen:
doppelte Nullstelle bei 0 und einfache bei -12
somit
[mm] D_{ök}:=[0,14] [/mm] (für 14 Tage) bzw. [mm] D_{ök}:=[0,\infty]
[/mm]
b) Bestimmen Sie rechnerisch den täglichen Absatz, der 4 Tage nach Herausgabe der Zeitschrift prognostiziert wird.
Ist mit dem täglichen Absatz [mm] \frac{dA(t)}{dt} [/mm] gemeint?
also:
[mm] \frac{dA(t)}{dt}=\frac{20\cdot t^2}{21}+\frac{160\cdot t}{21}
[/mm]
dann t=4 einsetzten
=>45,7 [mm] \frac{Mengeneinheiten}{Tag}
[/mm]
oder einfach wieviele Zeitschriften nach 4 Tagen verkauft wurden => A(t=4)?
c) Berechnen Sie, wann der Absatz [mm] \frac{5120}{63} \frac{Mengeneinheiten}{Tag} [/mm] beträgt.
Analog: jedoch nun [mm] \frac{dA(t)}{dt}=\frac{5120}{63} [/mm] und nun nach t lösen => 6,06 Tage
Ist das so korrekt überlegt? Oder haben sich Fehler bzw. Verständnisprobleme in den Aufgabenteilen eingeschlichen?
Vielen Dank!
Gruß!
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Hallo,
> Es ist eine Absatzfunktion mit [mm]A(t)=\frac{20}{63}\cdot t^3[/mm]
> + [mm]\frac{80}{21}\cdot t^2[/mm] (t in Tagen) für eine 14-tägige
> Zeitschrift gegeben.
>
> Könnte mir kurz jemand zu meinen Ansätzen sagen, ob sie
> richtig sind?
> a) Zunächst ist der ökonomisch sinnvolle
> Definitionsbereich gefragt.
>
> Nullstellen berechnen:
> doppelte Nullstelle bei 0 und einfache bei -12
> somit
> [mm]D_{ök}:=[0,14][/mm] (für 14 Tage) bzw. [mm]D_{ök}:=[0,\infty][/mm]
Na ja, ich würde sagen, erster Variante, denn nach 14 Tagen erscheint ja die neue Nummer der Zeitschrift.
>
> b) Bestimmen Sie rechnerisch den täglichen Absatz, der 4
> Tage nach Herausgabe der Zeitschrift prognostiziert wird.
>
> Ist mit dem täglichen Absatz [mm]\frac{dA(t)}{dt}[/mm] gemeint?
> also:
> [mm]\frac{dA(t)}{dt}=\frac{20\cdot t^2}{21}+\frac{160\cdot t}{21}[/mm]
>
> dann t=4 einsetzten
>
> =>45,7 [mm]\frac{Mengeneinheiten}{Tag}[/mm]
Nein, das wäre nur eine Näherungsberechnung. Der exakte Ansatz wäre A(4)-A(3).
>
> oder einfach wieviele Zeitschriften nach 4 Tagen verkauft
> wurden => A(t=4)?
>
Nein, denn die Absatzfunktion beschreibt ja, wie viele Zeitschriften der betreffenden Ausgabe insgesamt schon verkauft wurden.
> c) Berechnen Sie, wann der Absatz [mm]\frac{5120}{63} \frac{Mengeneinheiten}{Tag}[/mm]
> beträgt.
>
> Analog: jedoch nun [mm]\frac{dA(t)}{dt}=\frac{5120}{63}[/mm] und
> nun nach t lösen => 6,06 Tage
>
> Ist das so korrekt überlegt?
Auch das ist wieder eine Näherung per Ableitung. Der exakte Ansatz wäre
[mm] A(t)-A(t-1)=\bruch{5120}{63}
[/mm]
nach t aufzulösen.
Im Rahmen von Abiaufgaben bspw. werden heutzutage beide Wege anerkannt. Ich würde dir dennoch spontan in beiden Fällen zur exakten Lösung raten. Denn wieso sollte der Absatz in c) als derartig 'schräger' Bruch angegebent dem Ziel, dass es eine exakte Lösung gibt bzw. dass man es seben auf die beschriebene Art und Weise exakt angehen soll.
Ist denn der GTR als Hilfsmittel zugelassen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 27.02.2013 | | Autor: | mero |
Hallo,
vielen Dank für Ihre Antwort.
Die Absatzfunktion gibt mir noch an, wieviele Ausgaben ich nach t Tagen verkauft habe, oder?
Nach 14 Tagen (t=14) wären es 1617,778 Mengeneinheiten, oder bin ich da falsch?
Wenn ich nun mit dem Ansatz A(4)-A(3) rechne (also Ausgabenverkauf an Tag 4 - Tag 3) ergibt sich das [mm] \Delta [/mm] vom Tag 4. Ist das so richtig gedacht? Es ergibt sich:
[mm] \frac{20}{63}\cdot t^3 +\frac{80}{21}\cdot t^2
[/mm]
[mm] (\frac{20}{63}\cdot 4^3 +\frac{80}{21}\cdot 4^2)-(\frac{20}{63}\cdot 3^3 +\frac{80}{21}\cdot 3^2)=38,41 [/mm] Mengeneinheiten
Ich verstehe gerade allerdings nicht, warum die Ableitung nur eine Näherungsberechnung liefert? Normalerweise ist doch die Rechnung mit der Ableitung immer sehr genau. Und die Ableitung gibt mir ja die Änderung der Steigung an, also quasi direkt das [mm] \Delta.
[/mm]
Für die c) wäre es dann:
[mm] (\frac{20}{63}\cdot t^3 +\frac{80}{21}\cdot t^2)-(\frac{20}{63}\cdot (t-1)^3 +\frac{80}{21}\cdot (t-1)^2)=5120/63
[/mm]
Dies nach t gelöst ergibt dann: Am 6,56 Tag werden 5120/63 ME verkauft.
Ist das so richtig?
Der CAS-Rechner ist erlaubt bei uns, ja 
Vielen Dank!
Gruß!
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Hallo,
ich habe gerade nicht die Zeit zum Nachrechnen. Aber: es geht hier um Stückzahlen, es gibt keine 38.41 Zeitschriften und auch keinen 6.56 Tag. D.h., egal wie man rechnet: es muss sinnvoll auf ganze Zahlen gerundet werden.
> Die Absatzfunktion gibt mir noch an, wieviele Ausgaben ich
> nach t Tagen verkauft habe, oder?
> Nach 14 Tagen (t=14) wären es 1617,778 Mengeneinheiten,
> oder bin ich da falsch?
>
> Wenn ich nun mit dem Ansatz A(4)-A(3) rechne (also
> Ausgabenverkauf an Tag 4 - Tag 3) ergibt sich das [mm]\Delta[/mm]
> vom Tag 4. Ist das so richtig gedacht? Es ergibt sich:
>
> [mm]\frac{20}{63}\cdot t^3 +\frac{80}{21}\cdot t^2[/mm]
>
> [mm](\frac{20}{63}\cdot 4^3 +\frac{80}{21}\cdot 4^2)-(\frac{20}{63}\cdot 3^3 +\frac{80}{21}\cdot 3^2)=38,41[/mm]
> Mengeneinheiten
>
> Ich verstehe gerade allerdings nicht, warum die Ableitung
> nur eine Näherungsberechnung liefert? Normalerweise ist
> doch die Rechnung mit der Ableitung immer sehr genau. Und
> die Ableitung gibt mir ja die Änderung der Steigung an,
> also quasi direkt das [mm]\Delta.[/mm]
>
> Für die c) wäre es dann:
>
> [mm](\frac{20}{63}\cdot t^3 +\frac{80}{21}\cdot t^2)-(\frac{20}{63}\cdot (t-1)^3 +\frac{80}{21}\cdot (t-1)^2)=5120/63[/mm]
>
> Dies nach t gelöst ergibt dann: Am 6,56 Tag werden 5120/63
> ME verkauft.
>
> Ist das so richtig?
>
>
> Der CAS-Rechner ist erlaubt bei uns, ja
Die Ansätze sind genau das, was ich gemeint hatte.
PS: wegen der Kürze meiner Antwort und der Tatsache, dass ich nicht nachgerechnet habe, stelle ich die Frage mal auf 'teilweise beantwortet'.
Gruß, Diophant
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Hallo,
so, jetzt bin ich zum Nachrechnen gekommen. ZUnächst aber nochmal zu der Sache mit den Mengeneinheiten. Da in der Aufgabenstellung ja auch bspw. von 5120/63ME die Rede ist, war meine Annahme 1ME=1 Stk. natürlich Quatsch und die entsprechenden Aussagen zum Runden ebenso.
> Hallo,
>
> vielen Dank für Ihre Antwort.
>
> Die Absatzfunktion gibt mir noch an, wieviele Ausgaben ich
> nach t Tagen verkauft habe, oder?
> Nach 14 Tagen (t=14) wären es 1617,778 Mengeneinheiten,
> oder bin ich da falsch?
>
> Wenn ich nun mit dem Ansatz A(4)-A(3) rechne (also
> Ausgabenverkauf an Tag 4 - Tag 3) ergibt sich das [mm]\Delta[/mm]
> vom Tag 4. Ist das so richtig gedacht? Es ergibt sich:
>
> [mm]\frac{20}{63}\cdot t^3 +\frac{80}{21}\cdot t^2[/mm]
>
> [mm](\frac{20}{63}\cdot 4^3 +\frac{80}{21}\cdot 4^2)-(\frac{20}{63}\cdot 3^3 +\frac{80}{21}\cdot 3^2)=38,41[/mm]
> Mengeneinheiten
Die Rechnung ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich verstehe gerade allerdings nicht, warum die Ableitung
> nur eine Näherungsberechnung liefert? Normalerweise ist
> doch die Rechnung mit der Ableitung immer sehr genau. Und
> die Ableitung gibt mir ja die Änderung der Steigung an,
> also quasi direkt das [mm]\Delta.[/mm]
>
> Für die c) wäre es dann:
>
> [mm](\frac{20}{63}\cdot t^3 +\frac{80}{21}\cdot t^2)-(\frac{20}{63}\cdot (t-1)^3 +\frac{80}{21}\cdot (t-1)^2)=5120/63[/mm]
>
> Dies nach t gelöst ergibt dann: Am 6,56 Tag werden 5120/63
> ME verkauft.
Auch das ist richtig. dennoch muss hier die Antwort lauten am 7. Tag...
Wie gesagt, wenn das CAS erlaubt ist, könnte ich mir vorstellen, dass auch der approximative Weg über die 1. Ableitung statthaft ist, kann es aber natürlich aus der Ferne nicht sagen. Der hier gegangene Weg ist aber der mathematisch exakte und von daher kann er nicht falschg sein.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mi 27.02.2013 | | Autor: | mero |
Hallo,
vielen Dank für die Hilfestellung!
Ich schaue nochmal nach, warum die Lösung per Ableitung ungenauer ist, das ist mir noch nicht so ganz klar
Vielen Dank!
Gruß!
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