Rechnen mit Chauchy-Produkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 So 19.06.2005 | | Autor: | laryllan |
Servus zusammen,
erst ein mal ein nettes "Hallo" an euch alle! Es ist Wochenende... und was macht man da? - Richtig... Analysis I Übungsaufgaben bearbeiten ^^. Den größten Teil hab ich bereits hinter mir... nun kommt was, von dem ich mir nicht wirklich sicher bin, wie ich das gescheit lösen kann... gegeben ist folgendes:
Zu zeigen ist (mit Hilfe des Satzes vom Cauchy-Produk - auch "Multiplikationssatz für absolut konvergente Reihen" genannt), dass für [mm]q \in \mathbb{R}[/mm], wobei [mm]|q|<1[/mm], folgendes gilt:
[mm] \frac{1}{(1-q)^3}=\sum_{k=0}^{\infty}\;\frac{(k+1)(k+2)}{2}q^k[/mm]
Soweit so gut... nun frage ich mich jedoch wie ich das zeigen soll...
Ich weiß, dass nach dem Chauchy-Kriterium gelten soll
[mm]\sum_{n=1}^{\infty}c_n=(\sum_{n=1}^{\infty}a_n)(\sum_{n=1}^{\infty}b_n)[/mm], sowie dass für ein wie in der Aufgabe definiertes [mm]q[/mm] gelten muss, dass [mm]\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}[/mm]
Die Frage ist halt nun... wie kann ich die Formel der Aufgabe so geschickt auseinanderziehen, dass das rauskommt, was ich will :/
Ich befürchte ja, dass es irgendwie verhältnismäßig "einfach" sein dürfte... da wir das Thema Chauchyprodukt jedoch lediglich in 5 Minuten der Vorlesung eingeführt haben, bewege ich mich da auf wackligen Beinen...
Vielleicht kann / mag mir ja jemand helfen?
Mit bestem Dank im Vorraus!
Namárie,
Laryllan
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo laryllan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zu zeigen ist (mit Hilfe des Satzes vom Cauchy-Produk -
> auch "Multiplikationssatz für absolut konvergente Reihen"
> genannt), dass für [mm]q \in \mathbb{R}[/mm], wobei [mm]|q|<1[/mm], folgendes
> gilt:
>
> [mm]\frac{1}{(1-q)^3}=\sum_{k=0}^{\infty}\;\frac{(k+1)(k+2)}{2}q^k[/mm]
>
> Soweit so gut... nun frage ich mich jedoch wie ich das
> zeigen soll...
>
> Ich weiß, dass nach dem Chauchy-Kriterium gelten soll
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}c_n=(\sum_{n=1}^{\infty}a_n)(\sum_{n=1}^{\infty}b_n)[/mm],
> sowie dass für ein wie in der Aufgabe definiertes [mm]q[/mm] gelten
> muss, dass [mm]\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}[/mm]
>
> Die Frage ist halt nun... wie kann ich die Formel der
> Aufgabe so geschickt auseinanderziehen, dass das rauskommt,
> was ich will :/
da musst Du das Cauchy-Produkt mehrfach anwenden.
Es ist dann dieser Ausdruck zu berechnen:
[mm]\left( {\sum\limits_{i = 0}^\infty {q^i } \;\sum\limits_{j = 0}^\infty {q^j } } \right)\;\sum\limits_{k = 0}^\infty {q^k } [/mm]
Das Cauchy-Produkt zweier Reihen ist wie folgt definiert:
[mm]\sum\limits_{l = 0}^\infty {a_l \;q^l } \;\sum\limits_{m = 0}^\infty {b_m \;q^m } \; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\sum\limits_{l = 0}^k {a_l \;b_{k - l} \;q^k } } [/mm]
mit [mm]l\;+\;m\;=\;k[/mm]
Gruß
MathePower
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