Rechnen mit Skalaren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 28.12.2006 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | [mm] \parallel \lambda [/mm] y - x [mm] \parallel^{2} [/mm] + [mm] \parallel \lambda [/mm] y [mm] \parallel^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2} [/mm] |
Ich muss diese Aufgabe ausrechnen und weiß, dass ich das [mm] \lambda [/mm] (Skalar) aus den Termen rausziehen darf, da es sich um Skalarprodukte handelt.
Ist das dann so richtig..?
[mm] |(\lambda [/mm] y - [mm] x)(\lambda [/mm] y - x)| + [mm] \lambda \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2}
[/mm]
Kann ich das so machen? Oder ist das am Anfang nicht richtig?
Ich habe das nun so gerechnet und bekomme dann: [mm] \lambda [/mm] = 2|xy| raus.
Problem dabei ist jedoch, dass ich die Probe wiederum nicht hinbekomme, vielleicht könnte mir jemand dabei helfen, nen Tipp geben oder sonstiges.
Gruß Johie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> [mm]\parallel \lambda[/mm] y - x [mm]\parallel^{2}[/mm] + [mm]\parallel \lambda[/mm] y [mm]\parallel^{2}[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel^{2}[/mm]
> Ich muss diese Aufgabe ausrechnen
Hallo,
mir erschiene es sinnvoll, wenn Du die komplette Aufgabenstellung hier posten würdest.
Was meinst Du mit
> Ich muss diese Aufgabe ausrechnen
Was sind x,y? [mm] \in \IR^2? [/mm] Und [mm] \lambda? [/mm] Wahrscheinlich [mm] \in \IR...
[/mm]
[mm] \parallel.\parallel, [/mm] ist das die euklidische Norm? Wird wohl so sein...
und weiß, dass ich das
> [mm]\lambda[/mm] (Skalar) aus den Termen rausziehen darf, da es sich
> um Skalarprodukte handelt.
> Ist das dann so richtig..?
> [mm]|(\lambda[/mm] y - [mm]x)(\lambda[/mm] y - x)| + [mm]\lambda \parallel[/mm] x
> [mm]\parallel^{2}[/mm]
Warum hast Du jetzt im Term hinterm Plus x statt y?
Ganz sicher ist [mm]\lambda \parallel[/mm] x [mm][mm] \parallel^{2}=[/mm] [mm] \parallel[/mm] [mm] \lambda [/mm] x [mm][mm] \parallel^{2}
[/mm]
in den allermeisten Fällen nicht richtig, sondern [mm]\lambda^2 \parallel[/mm] x [mm][mm] \parallel^{2}.
[/mm]
Aber ohne die genaue Aufgabenstellung sag' ich lieber nichts mehr...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 28.12.2006 | | Autor: | Johie |
Sei V ein reeler Vektorraum mit einem Skalarprodukt <,>.
Ein Vektor x [mm] \in [/mm] V heißt Einheitsvektor, wenn [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 1.
Ist x [mm] \in [/mm] V, x [mm] \not= [/mm] 0, so ist [mm] \bruch{1}{\parallel x \parallel} [/mm] x ein Einheitsvektor.
Seien nun x, y [mm] \in [/mm] V linear unabhängige Einheitsvektoren.
Man berechne den Faktor [mm] \lambda \in \IR [/mm] für den die Vektoren x, [mm] \lambda [/mm] y-x und [mm] \lambda [/mm] y ein rechtwinkliges Dreieck bilden und mache jedenfalls auch die Probe für das erzielte Ergebnis.
Aus dieser Aufgabe habe ich nun die Gleichung gebildet, die ich in den ersten Eintrag gestellt habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 28.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Also für den rechten Winkel gibt es ja drei Möglichkeiten, wo er liegen kann.
1. Fall: [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] stehen senkrecht aufeinander
Dann kann [mm]\lambda[/mm] jeden beliebigen Wert aus [mm]\IR[/mm] annehmen.
2. Fall: [mm]x[/mm] und [mm]x-\lambda y[/mm] stehen senkrecht aufeinander.
Dann muss gelten: [mm]\langle x, x-\lambda y \rangle = 0[/mm]
Daraus folgt mit der Linearität des Skalarprodukts: [mm]\langle x, x \rangle - \langle x, \lambda y \rangle= 0[/mm]
Da [mm]x[/mm] Einheitsvektor ist und mit nochmaliger Anwendung der Linearität folgt:
[mm] \lambda = \bruch{1}{\langle x, y \rangle }[/mm]
3. Fall: [mm]y[/mm] und [mm]x-\lambda y[/mm] stehen senkrecht aufeinander.
Dann muss gelten: [mm]\langle y, x-\lambda y \rangle = 0[/mm]
Daraus folgt mit der Linearität des Skalarprodukts: [mm]\langle y, x \rangle - \langle y, \lambda y \rangle= 0[/mm]
Da [mm]y[/mm] Einheitsvektor ist und mit nochmaliger Anwendung der Linearität folgt:
[mm] \lambda = \langle x, y \rangle[/mm]
MfG Baufux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Johie |
Ok, dass ist doch super, nach dem ich das mit dem [mm] \lambda^{2} [/mm] korrigiert hatte, habe ich auch [mm] \lambda [/mm] = |yx| raus...
Aber wir sollen noch die Probe davon machen und da habe ich irgendwie Probleme mit, da ich nie die richtige Auflösung hinbekomme, wahrscheinlich mache ich da irgendeinen Flüchtigkeitsfehler...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johie!
Dann poste doch bitte mal Deine Rechnung, um Deinen vermeintlichen Flüchtigkeitsfehler zu finden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Johie |
Meine Probe:
[mm] \parallel \lambda [/mm] y-x [mm] \parallel^{2} [/mm] + [mm] \parallel \lambda [/mm] y [mm] \parallel^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = |yx|
((yx)y-x) ((yx)y-x) + [mm] (yx)^{2} [/mm] (yy) = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2}
[/mm]
[mm] (y^{2} [/mm] x - x) [mm] (y^{2} [/mm] x - x) + [mm] y^{4} x^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2}
[/mm]
[mm] y^{4} x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} x^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{4} x^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2}
[/mm]
Da in der Aufgabe festgelegt wurde, dass [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 1 würde bei mir im Endeffekt
1=1
rauskommen... Das besagt zwar, dass auf beiden Seiten das selbe vorhanden ist, aber kommt mir schon ein wenig komisch vor...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Johie |
Wäre nett, wenn hier noch mal jemand schauen könnte, ob die Rechnung für die Probe stimmt!
Gruß Johie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 So 31.12.2006 | | Autor: | baufux |
Also wie du mit dem Skalarprodukt, herumhantierst kann ich zwar nicht ganz nachvollziehen, aber es sollte stimmen.
Ich würde das folgendermaßen aufschreiben:
[mm]
\parallel \lambda y-x \parallel ^{2} + \parallel \lambda y \parallel ^{2} = \parallel x \parallel ^{2}
\langle \lambda y-x,\lambda y-x \rangle + \langle \lambda y, \lambda y \rangle = \langle x, x \rangle
\langle \lambda y, \lambda y-x \rangle - \langle x, \lambda y-x \rangle + \lambda^{2} = 1
\langle \lambda y, \lambda y \rangle - \langle x, \lambda y \rangle - \langle x, \lambda y \rangle + \langle x, x \rangle + \lambda^{2} = 1
2 \lambda^{2} - 2 \lambda \langle x, y \rangle +1 = 1
[/mm]
Und wenn man nun [mm] \lambda = \langle x,y \rangle [/mm] einsetzt kommt 1 = 1 raus.
D.h. die Gleichung stimmt und man hat richtig gerechnet, oder man hat mehrere Fehler begangen, die sich gegenseitig auslöschen. 
Das oben ist wahrscheinlich nur eine Notationssache, wobei bei deiner nicht immer ganz klar ist wo man einen Skalar mit einem Vektor multipliziert, und wo man zwei Vektoren skalarmultipliziert.
Grüße Baufux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Do 04.01.2007 | | Autor: | Johie |
Hey danke für deine Antwort :) Dann habe ich die Aufgabe ja nun gelöst :) Mit den Skalaren bin ich mir allerdings recht sicher, dass man die als Multiplikation aufschreiben darf, da wir das in der Vorlesung definiert hatten...
Gruß Johie
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