Rechteck im Quadrat - Raster < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
in einem Quadratraster(1x1) wird ein Rechteck, auf Rasterlinien gezeichnet. Die Diagonale schneidet eine Anzahn von Quadraten. Beispiel: bei 16x5=>20, bei 10x8=>16, bei 8x5=>12....
Gibt es eine Formel, welche die Anzahl der von der Diagonale geschnittenen Quadrate bestimmt? Wenn die lange Seite a und die kurze b ist, dann ist g immer größer als a(g=geschnittene) Es besteht sicher ein Zusammenhang zu a/b.
Gruß, Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Sa 28.01.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> in einem Quadratraster(1x1) wird ein Rechteck, auf
> Rasterlinien gezeichnet. Die Diagonale schneidet eine
> Anzahn von Quadraten. Beispiel: bei 16x5=>20, bei 10x8=>16,
> bei 8x5=>12....
> Gibt es eine Formel, welche die Anzahl der von der
> Diagonale geschnittenen Quadrate bestimmt? Wenn die lange
> Seite a und die kurze b ist, dann ist g immer größer als
> a(g=geschnittene) Es besteht sicher ein Zusammenhang zu
> a/b.
> Gruß, Ferma
Hallo,
nimm doch mal dein Beispiel 16*5.
Das sind 5 Streifen mit der Breite 16.
Eine Diagonale schneidet den ersten Streifenrand bei x= 3,2; den nächsten bei 6,4; den nächsten bei 9,6; dann bei 12,8; bis die Ecke bei 15 erreicht wird. Jeder dieser 5 Streifen wird also auf einer "Breite" von 3,2 Einheiten durchquert.Dabei müssen also mehr als 3 Quadrate pro Zeile durchschnitten werden. Mehr als 3 heißt mindestens 4.
Theoretisch könnten es sogar 5 sein, wenn der "Eintritt" in einen Streifen z.B. bei 2,9 erfolgen würde und der Austritt 3,2 Einheiten später, also bei 6,1.
Das ist hier aber nicht möglich; in jeder Schicht werden nur 4 Kätstchen geschnitten.
Anders ist es bei 17*5; da gibt es Streifen mit 4 und Streifen mit 5 geschnittenen Kästchen (und warum?)
Gruß Abakus
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> Hallo,
> in einem Quadratraster(1x1) wird ein Rechteck, auf
> Rasterlinien gezeichnet. Die Diagonale schneidet eine
> Anzahn von Quadraten. Beispiel: bei 16x5=>20, bei 10x8=>16,
> bei 8x5=>12....
> Gibt es eine Formel, welche die Anzahl der von der
> Diagonale geschnittenen Quadrate bestimmt? Wenn die lange
> Seite a und die kurze b ist, dann ist g immer größer als
> a(g=geschnittene) Es besteht sicher ein Zusammenhang zu
> a/b.
> Gruß, Ferma
Hallo Ferma,
es lohnt sich bestimmt, ein paar Beispiele konkret zu
betrachten und zuerst eine untere und eine obere
Schranke für die Anzahl der durchquerten Quadrate
zu bestimmen. Wird ein Quadrat etwa nur an einem
Eckpunkt von der Diagonale berührt, zählt man es
nicht mit.
Nun könnte man wohl von der oberen Schranke
ausgehen und sich dann überlegen, durch wie viele
Gitterpunkte im Inneren des Rechtecks die Diagonale
verläuft. Aus diesen beiden Zahlenwerten sollte sich
die Anzahl der durchquerten Quadrate berechnen lassen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 29.01.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo Al,
hier ein paar Rechtecke:
Rechteck
(axb) geschnittene Kästchen(G) geschn. Gitterpunkte(P)
5x4 8 0
8x5 12 0
10x4 12 1
10x6 14 1
10x8 16 1
12x5 16 0
14x6 18 1
15x4 18 0
17x5 21 0
20x4 20 3
21x4 24 0
Die Formel: G=a+(b-1)-P
es fehlt noch die Formel für P
VG,Ferma
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> Hallo Al,
> hier ein paar Rechtecke:
>
> Rechteck
> (axb) geschnittene Kästchen(G) geschn.
> Gitterpunkte(P)
> 5x4 8
> 0
> 8x5 12
> 0
> 10x4 12
> 1
> 10x6 14
> 1
> 10x8 16
> 1
> 12x5 16
> 0
> 14x6 18
> 1
> 15x4 18
> 0
> 17x5 21
> 0
> 20x4 20
> 3
> 21x4 24
> 0
>
> Die Formel: G=a+(b-1)-P
> es fehlt noch die Formel für P
P = ggT(a,b) - 1 (g=ggT(a,b) größter gemeinsamer Teiler)
Das kommt daher, dass der Gitterpunkt (x,y) genau dann durchquert wird, wenn [mm] \frac{x}{y}=\frac{a}{b}=\frac{a/g}{b/g}.
[/mm]
Damit kommen alle Vielfachen von a/g für x bzw. von b/g für y in Frage.
>
> VG,Ferma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 Di 31.01.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
so, jetzt steht die Formel:
G=a+b-ggT(a,b)
Danke an alle Beteiligten!
LG Ferma
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> Hallo,
> so, jetzt steht die Formel:
> G=a+b-ggT(a,b)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja !
Ich finde übrigens die Aufgabe ganz hübsch, weil sie
eine schöne Veranschaulichung des Begriffs des ggT
gibt !
LG Al-Chw.
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