Rechteck im spitzwinkl Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Fr 30.09.2005 | | Autor: | scratchy |
Hi,
Frage:
in einem spitzwinkligen Dreieck mit Grundlinie c und Höhe hc ist ein Rechteck mit möglichst großen Flächeninhalt einzubeschreiben, so dass ein Seite des Rechtecks auf c liegt. Welche Abmessungen muss das Rechteck haben? Wie groß ist sein Flächeninhalt?
Ich habe keine Idee kann daher nicht wirklich Lösungsansatz bieten.
Wenn s die Seite des Rechteckes ist, die auf auf der Grundlinie c liegt ist eine Bedingung k < c und die Höhe (o) des Rechteckes o < hc.
Zielfunktion sollte A = k * o sein und soll maximiert werden.
Für einen kleinen Denkanstoß bin ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
Ich nenne mal die beiden gesuchten Seiten des Rechteckes $x_$ und $y_$ (dabei ist $x_$ auf der Grundseite des Dreieckes).
Dann gilt ja für den Flächeninhalt: [mm] $A_{Rechteck} [/mm] \ = \ x*y$
Nun solltest Du Dir mal eine Skizze machen und erkennen, dass wir hier einen Strahlensatz anwenden können:
[mm] $\bruch{\bruch{x}{2}}{ \ \bruch{c}{2} \ } [/mm] \ = \ [mm] \bruch{h_c-y}{h_c}$ $\gdw$ $\bruch{x}{c} [/mm] \ = \ 1 - [mm] \bruch{y}{h_c}$
[/mm]
Diesen Ausdruck kannst Du nun z.B. nach $y_$ auflösen und in die Flächenformel einsetzen und erhältst eine Funktion $A(x)_$, die nur noch von einer Variablen $x_$ abhängig ist.
Mit dieser Funktion $A(x)_$ kannst Du dann wie gewohnt eine Extremalberechnung durchführen (Nullstellen der 1. Ableitung etc.).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 18.11.2007 | | Autor: | Ve123 |
Hallo Loddar,
ich habe eine frage zu deiner antwort:
> [mm]\bruch{\bruch{x}{2}}{ \ \bruch{c}{2} \ } \ = \ \bruch{h_c-y}{h_c}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\bruch{x}{c} \ = \ 1 - \bruch{y}{h_c}[/mm]
wie kommst du auf der rechten seite der gleichung auf die 1 - vor dem bruch??
Ansonsten hab ich den gedankengang verstanden ;) hatte den gleichen ansatz bin aber nicht weiter gekommen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vee!
Das ist einfach etwas Bruchrechnung und Kürzen:
[mm] $$\bruch{h_c-y}{h_c} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{h_c}{h_c}-\bruch{y}{h_c} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{y}{h_c}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Ve123 |
Hallo Loddar,
oh ja, vielen dank.....darau hätte ich auch selbst kommen können...
bei mir hat sich leider das nächste problem ergeben:
wenn ich x/c = 1 - y/hc nach y freistelle ergibt sich:
y= - x/c * hc +1
das dann eingesetzt für x in die Gleichung für den Flächeninhalt :
A(Rechteck) = - x²/c * hc + x
und dann abgeleitet :
A´(Rechteck) = -2x/c * hc + 1
dann gleich 0 setzen:
0 = -2x/c * hc +1 I -1
-1 = -2x/c * hc
und dann??? ich meine wenn ich das weiter auflöse komme ich ja nicht auf das ergebnis von scratchy mit
y= hc/2 und x = c/2
..... habe ich iwo einen Fehler gemacht??
diese Aufgabe macht mich noch wahnsinning ;)
danke für deine hilfe!!
Gruß Ve
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vee!
Du hast falsch nach $y_$ umgeformt. Da muss es heißen:
$$y \ = \ [mm] \left(1-\bruch{x}{c}\right)*h_c [/mm] \ = \ [mm] h_c-\bruch{x}{c}*h_c$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Ve123 |
Hallo Loddar,
vielen, vielen dank für deine Hilfe!!
Ich habs jetzt (endlich ;) ) rausbekommen ;) - hatte echt ein Brett vorm Kopf ;)
Gruß Ve
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Fr 30.09.2005 | | Autor: | scratchy |
Hallo Loddar, auf den Strahlensatz wäre ich nicht gekommen.
y=hc/2 und x=c/2 kommt raus
noch eine Nachfrage
das [mm] \bruch{\bruch{x}{2}}{\bruch{c}{2}} [/mm] und [mm] \bruch{x}{c} [/mm] ist zwar das gleiche, aber ich frage mich warum du die linke Seite der Strahlensatzgleichung so aufgestellt hast (x und c halbiert)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
> auf den Strahlensatz wäre ich nicht gekommen.
Die sollte man aber schon im Hinterkopf haben bei solchen geometrischen Problemen.
> aber ich frage mich warum du die linke Seite der Strahlensatzgleichung
> so aufgestellt hast (x und c halbiert)?
Reine Gewöhnungssache: ich hatte lediglich das halbe Dreieck (als rechtwinkliges Dreieck) mit dem halben Rechteck betrachtet.
Es geht natürlich auch der "direkte Weg" ...
Gruß
Loddar
PS: Deine Ergebnisse habe ich auch erhalten ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Fr 30.09.2005 | | Autor: | taura |
Ich überlege mir grade, ob das Dreieck als gleichseitig gegeben ist, oder nur als spitzwinklig? In diesem Fall wäre nämlich Thorstens Antwort nur teilweise richtig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Fr 30.09.2005 | | Autor: | scratchy |
Das Dreieck ist nur als spitzwinklig gegeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
Und wieder Gewohnheitssache  ...
Meine o.g. Lösung ist ja lediglich gültig für gleichschenklige Dreiecke mit der Basis $c_$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo taura und scratchy!
Die genannte Lösung gilt für alle spitzwinklige Dreiecke.
Nur der Ansatz ist halt etwas länger, um letztendlich auf dieselbe Zielfunktion zu kommen.
Der Höhenfußpunkt von [mm] $h_c$ [/mm] teilt sowohl die Grundseite $c_$ als auch die Rechteckgrundseite $x_$ in Teilstrecken: [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] bzw. [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] .
Dabei gilt dann auch: [mm] $\red{c_1 + c_2} [/mm] \ = \ [mm] \red{c}$ [/mm] sowie [mm] $\blue{x_1 + x_2} [/mm] \ = \ [mm] \blue{x}$
[/mm]
Nun betrachten wir die beiden Teildreiecke mit den Strahlensätzen (siehe auch oben):
[mm] $\bruch{x_1}{c_1} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{y}{h_c}$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{x_2}{c_2} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{y}{h_c}$
[/mm]
Daraus wird:
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] c_1*\left(1-\bruch{y}{h_c}\right)$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] c_2*\left(1-\bruch{y}{h_c}\right)$
[/mm]
Nun beide Gleichungen addieren:
[mm] $x_1+x_2 [/mm] \ = \ [mm] c_1*\left(1-\bruch{y}{h_c}\right) [/mm] + [mm] c_2*\left(1-\bruch{y}{h_c}\right)$
[/mm]
[mm] $\blue{x_1+x_2} [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{c_1+c_2}\right)*\left(1-\bruch{y}{h_c}\right)$
[/mm]
[mm] $\blue{x} [/mm] \ = \ [mm] \red{c}*\left(1-\bruch{y}{h_c}\right)$
[/mm]
Der weitere Weg ist dann wie bei der o.g. Lösung.
Gruß
Loddar
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