Rechteck in Ellipse < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Do 07.01.2010 | | Autor: | Pferd93 |
| Aufgabe | Der Graph der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}} [/mm] ist die Hälfte einer Ellipse, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Ein Rechteck soll so einbeschrieben werden, dass eine Seite auf der x-Achse liegt. Ermitteln Sie die Seitenlängen des Rechtecks, das maximalen Flächeninhalt hat! |
Hallo!
Ich würde mich freuen wenn jemand mal meine Lösung Kontrollieren würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] f(x)=\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}}
[/mm]
A=ab
[mm] A=(2(\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}}))*2x
[/mm]
[mm] A'=-\bruch{12(2x^{2}-25)}{5(\wurzel{25-x^{2}})}
[/mm]
Die ganze Formel 0 gesetzt und umgeformt...
[mm] x=\wurzel{12,5}
[/mm]
[mm] a=2\wurzel{12,5}
[/mm]
[mm] b=\bruch{1}{5}\wurzel{225-9*\wurzel{12,5}^{2}}
[/mm]
[mm] b=\bruch{1}{5}\wurzel{112,5} [/mm]
[mm] A_{max}=2\wurzel{12,5}*\bruch{1}{5}\wurzel{112,5}=15 [/mm] FE
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Hallo Pferd!
> [mm]f(x)=\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}}[/mm]
> A=ab
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]A=(2(\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}}))*2x[/mm]
Wo kommt hier der 2. Faktor mit der 2 her?
> [mm]A'=-\bruch{12(2x^{2}-25)}{5(\wurzel{25-x^{2}})}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie bist Du auf diese Ableitung gekommen? Bitte rechne mal vor, denn ich habe etwas anderes erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Do 07.01.2010 | | Autor: | Pferd93 |
Hallo Roadrunner!
Bei der formel für den Flächeninhalt gabs nen Denkfehler meinerseits.
Ich habe gedacht dass das Rechteck in die Gesammte Ellipse soll.
demnach ist die formel:
[mm] A=(\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}})\cdot{}2x
[/mm]
Und die Ableitung:
[mm] A'=\bruch{2*\wurzel{225-9*x^{2}}}{5}-\bruch{18*x^{2}}{5*\wurzel{225-9*x^{2}}}
[/mm]
[mm] A_{0}=\wurzel{12,5}
[/mm]
Das maximum müsste aber trozdem so sein (warscheinlich mittendrinn ausversehen wieder richtig gemacht)
[mm] A_{max}=2\wurzel{12,5}\cdot{}\bruch{1}{5}\wurzel{112,5}=15
[/mm]
Ist das da jetzt Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Do 07.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Deine Ableitung ist korrekt.
[mm] A(x)=\overbrace{\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}}}^{u}\overbrace{2x}^{v}
[/mm]
ergibt mit Produkt (und Kettenregel für u')
[mm] A'(x)=\overbrace{\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}}}^{u}\overbrace{2}^{v'}+\overbrace{\bruch{1}{5}*\bruch{1}{2*\wurzel{225-9x^{2}}}*(-18x)}^{u'}\overbrace{2x}^{v}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{5}\wurzel{225-9x^{2}}-\bruch{36x^{2}}{10\wurzel{225-9x^{2}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{5}\wurzel{225-9x^{2}}-\bruch{18x^{2}}{5\wurzel{225-9x^{2}}}
[/mm]
Aber ich komme auf ein anderen Wert, bei dem A'(x)=0 wird, zeig doch da mal bitte deine Rechnung.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 14.01.2010 | | Autor: | Pferd93 |
So
Ich hab jezz alles nochma durchgerechnet.
[mm] A=\bruch{1}{5}\wurzel{225-9x^{2}}*2x
[/mm]
Mit GTR Maximum berechnet
[mm] X_{max}=\wurzel{12,5}
[/mm]
[mm] A_{max}=\bruch{1}{5}\wurzel{225-9\wurzel{12,5}^{2}}*2\wurzel{12,5}
[/mm]
[mm] A_{max}=\wurzel{4,5}*\wurzel{50}
[/mm]
[mm] A_{max}=15 [/mm] FE
muss passen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 14.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht gut aus
Marius
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