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| Aufgabe | Fürt eine Werbe-Ausstellung soll eine ungewöhnliche Werbefläche erstellt werden. Eine Fabrik erhält den Auftrag, aus Kunstoff eine Grundfläche herzustellen, bei der die äußeren Kanten der Funktion
f(x) = 0,25 [mm] x^4 [/mm] - 3,25 [mm] x^2 [/mm] + 9
folgen. Definitionsmenge ist die Menge der reelen Zahlen.
Alle Zahlenangaben auf der Skizze sind Meterangaben. Auf 2 Meter Höhe vom Boden gemessen, sioll eine Plexiglas-Platte mit optimaler Flächenausnutzung so aufgeklebt werden, dass ihre oberen Ecke die Funktion berühren.
a) Berechnen Sie die maximal mögliche Plexiglas-Fläche A in [mm] m^2.
[/mm]
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Hallo,
wie ich die maximale Fläche berechne ist mir klar, nur die Herleitung der Funktion (also mit Haupt- und Nebenbediengung, Einsetzen etc.) bereitet mir Schwierigkeiten.
Ihr könnt die Funktion hier eingeben, um sie zu sehen: ![[]](/images/popup.gif) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm
[mm] 0,25x^4-3,25x^2+9
[/mm]
Es interessiert nur der Teil in der Mitte (also sozusagen nur die Parabel). Das Rechteck fängt 2 Meter vom Boden an. Ich hoffe es ist klar was ich meine.
Ich würde persönlich jetzt die Hauptbediengung so formulieren: A = 2 * breite * höhe
Und die Nebenbediengung (eine zumindest): y = f(x)
Da die Fläche jedoch 2 Meter vom Boden entfernt ist, weiß ich nicht ob das stimmen kann.
Ich bin auf eure Hilfe angewiesen, wie muss ich genau bis zur Funktion vorgehen (die Berechnung von max ist wie gesagt ein einfaches).
freundliche Grüße, und "helau"
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Hallo berger741,
Zunächst einmal ist die Funktion symmetrisch, d.h. alle Betrachtungen können auf dem Intervall [mm]\left[0,2\right][/mm] erfolgen, da [mm]f(2)=0\![/mm]. Angenommen [mm]k\![/mm] ist die x-Koordinate des Berührpunktes mit [mm]f(x)\![/mm]. Dann ist die Höhe des gesuchten Rechtecks [mm]f(k)-2\![/mm] und die Breite ist [mm]k\![/mm]. Das heißt die zu maximierende Funktion lautet: [mm]g(k):=(f(k)-2)k\![/mm].
Viele Grüße
Karl
P.S. Die Fläche des Rechtecks mußt du dann verdoppeln.
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Hallo Karl_Pech,
ich habe die Aufgabe nun gerechnet, bekomme aber total utopische Werte heraus: -301,95 (kann ja nicht stimmen)
Was habe ich gemacht?
f(x) - 2 = [mm] 0,25x^4 [/mm] - [mm] 3,25x^2 [/mm] + 7
V(b) = [mm] 0,25b^4 -3,25b^2 [/mm] +7
V'(b) = [mm] 1b^3 [/mm] -6,5b
V''(b) = [mm] 3b^2 [/mm] - 6,5
V'(b) = 0 L = { 2,5495; -2,5495; 0 }
V''(b) = L = { -25,25; -6,5; }
-301,95
Ich habe das Ergebnis noch nicht einmal * 2 genommen, ist also das doppelte.
Was mache ich bloss falsch?
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Hi, berger,
> Was habe ich gemacht?
>
> f(x) - 2 = [mm]0,25x^4[/mm] - [mm]3,25x^2[/mm] + 7
Das ist OK, aber damit hast Du nur die HÖHE des Rechtecks!
> V(b) = [mm]0,25b^4 -3,25b^2[/mm] +7
Du hast vergessen, mit der BREITE b des Rechtecks (eigentlich ja nur des halben - siehe Karl_Pech!) zu multiplizieren.
Richtig wäre: V(b) = [mm] (0,25b^4 [/mm] - [mm] 3,25b^2 [/mm] +7)*b
Viel Glück!
mfG!
Zwerglein
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Hallo,
die Breite wäre ja 1 (laut des Graphen), da würde also trotzdem eine riesiges Ergebnis rauskommen, es soll jedoch nur 8,.. rauskommen.
Ich schaue es mir nochmal an.
Danke,
fg
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Hi, berger,
> die Breite wäre ja 1 (laut des Graphen),
Nein, nein, die Breite des (halben) Rechtecks ist die x-Koordinate des (rechten) Punktes, in dem das Rechteck den Graphen "berührt"; die ist genauso variabel wie die Höhe!
Zeichne Dir doch mal zwei oder drei dieser Rechtecke in eine Skizze ein!
Dann ist's leichter einzusehen!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mi 25.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso soll die Breite denn 1 sein. Die kann man doch fast frei waehlen , und die Hoehe ergibt sich daraus!
Gruss leduart
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Hallo und Danke,
also die Breite ist immer 1 (bzw. 2 wenn die ganze Breite betrachtet wird).
Ich habe eine Grafik angefertigt die das visualisieren soll:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe es wird dadurch etwas klarer.
fg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo berger!
Mit dieser Skizze / Erläuterung ergibt sich eine Zielfunktion von:
$$A(x) \ = \ 2x*f(x)-2x*2 \ = \ 2x*[f(x)-2]$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:59 Fr 27.02.2009 | | Autor: | berger741 |
Hallo Lodar,
ich habe nun versucht mit deiner Zielfunktion die Aufgabe zu lösen, komme aber wiedermals auf ein anderes Ergebnis :)
Ich bin mir sicher dass die Fragerei nervt, jedoch möchte ich euch bitten mir einmal die Aufgabe weiter zu lösen, ich weiß einfach nicht was ich falsch mache.
Ich habe einfach die Ableitungen gebildet, Max bestimmt, doch dieses ist ~ 80, sollte eigentlihc nicht so hoch.
Das Endergebnis ist etwas miot 8,1..; davon bin ich wohl noch weit entfernt.
fg, Danke für die Geduld :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Fr 27.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo berger,
es ist besser, Du rechnest mal vor, was Du jetzt gemacht hast. Dann finden wir leichter heraus, wo Du hängenbleibst.
Grüße
reverend
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Hallo,
also, ich habe folgendes gerechnet (unter anderem):
a(x) = 2x [f(x) -2]
..
..
a(x) = 0,5 [mm] x^5 -6,5x^3 [/mm] +14x
a'(x) = [mm] 2,5x^4 -19,5x^2 [/mm] +14
a''(x) = [mm] 10x^3 [/mm] - 39x
a'(x) = 0 L = {2,64; -2,64}
a''(2,64) = - 8, 89 (max)
a(2,64) = -58,35
Das ist soweit meine Rechnung
fg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Sa 28.02.2009 | | Autor: | berger741 |
Hallo,
habe nun endlich das richtige Ergebnis heraus.
Vielen Dank für die geduldige Unterstützung :)
fg
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da erhalte ich einen positiven Wert; es handelt sich also um ein Minimum!
