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| Aufgabe | Sei $G$ eine Gruppe und [mm] $\Omega$ [/mm] eine Menge, auf der $G$ transitiv operiert. Sei [mm] $\beta \in \Omega$.
[/mm]
Zeigen Sie:
Die Menge [mm] $\{g \in G|g(\alpha) = \beta\}$ [/mm] ist eine Rechtsnebeklasse des Stabilisators von [mm] $\alpha$ $G_{\alpha} [/mm] = [mm] \{ g\in |g(\alpha)=\alpha\}$. [/mm] |
Hallo,
der Einfachheit halber sei [mm] $H=G_{\alpha}$.
[/mm]
Dann muss ich zeigen [mm] $B:=\{g \in G|g(\alpha) = \beta\}=Ha$ [/mm] für ein $a [mm] \in [/mm] G$. Ich finde das nicht so leicht.
Die Transitivität sagt mir, dass es ein $a [mm] \in [/mm] G$ gibt mit [mm] $a(\alpha) [/mm] = [mm] \beta$.
[/mm]
Somit weiß ich $a [mm] \in [/mm] B$. Wie komme ich nun aber weiter? Wenn ich nun $Ha [mm] \subseteq [/mm] B$ zeigen will? Genausowenig habe ich eine Ahnung für $B [mm] \subseteq [/mm] Ha$.
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$ H [mm] a\subseteq [/mm] B$: Wähle $ [mm] h\in [/mm] H $ und zeige, dass $ [mm] ha\in [/mm] B $, also $ ha [mm] (\alpha)=a [/mm] (h [mm] (\alpha))=\beta [/mm] $.
$ [mm] B\subseteq [/mm] Ha $: Sei $ [mm] g\in [/mm] B $. Zeige, dass $ [mm] ga^{-1}\in [/mm] H $, also $ [mm] g\in [/mm] Ha $.
(Ich glaube, die Umbenennungen der Mengen $ H$ unf $ B $ hat hier eher geringen Nutzen gebracht ;) )
Man zeigt übrigens mit dieser Aufgabe, dass jede transitive Gruppenwirkung isomorph zur Rechtsmultiplikation auf die Menge der Nebenklassen eines Stabilisators ist. Außerdem ist jede Gruppenwirkung ein Koprodukt transitiver Gruppenwirkungen. Mit diesen beiden leichten Resultaten kann man Gruppenoperationen erstaunlich gut klassifizieren.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ok, ich habe etwas wenig Erfahrung und diesbezüglich ein paar Fragen.
Fangen wir ganz langsam an und zeigen $Ha [mm] \subseteq [/mm] B$. Wenn ich mir nun $ha$ hernehme und das auf [mm] $\alpha$ [/mm] anwende, darf ich denn dann [mm] $ha(\alpha)=h(a(\alpha))$ [/mm] schreiben, oder ist das wirklich eher als Rechtsoperation gemeint dann, also [mm] $g\cdot [/mm] a (h)=a(g(h))$?
Wenn letzteres gilt,habe ich kein Problem mehr.
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Hallo,
Hier muss es sich um Rechtsoperationen handeln. Ansonsten müsste in der Aufgabenstellung Linksnebenklasse statt Rechtsnebenklasse stehen, dann wäre die Aussage auch wieder richtig. Ich arbeite eigentlich auch lieber von links.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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