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Rechtsnebenklasse/normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Di 15.04.2014
Autor: chloe.liu

Aufgabe
Es seien G eine endliche Gruppe und H [mm] \le [/mm] G eine Untergruppe. Zeige:
i) H besitzt genau[G:H] rechtsnebenklassen
ii) Gilt [G:H]=2, so ist H ein Normalteiler.

Meine Idee zu ii):
Zu zeigen [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: gH=Hg
Falls g [mm] \in [/mm] H, dann ist gH=H=Hg, da H eine bzgl. "*" abgeschlossene Menge ist.
Andernfalls, wenn g [mm] \not\in [/mm] H, dann gilt g=g*1 [mm] \in [/mm] gH= G/H und g= 1*g [mm] \in [/mm] Hg=G/H. Und damit gH=Hg
Ist das richtig? Und kann jemand ein Tipp zu i) geben?


        
Bezug
Rechtsnebenklasse/normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Di 15.04.2014
Autor: hippias


> Es seien G eine endliche Gruppe und H [mm]\le[/mm] G eine
> Untergruppe. Zeige:
>  i) H besitzt genau[G:H] rechtsnebenklassen
>  ii) Gilt [G:H]=2, so ist H ein Normalteiler.
>  Meine Idee zu ii):
>  Zu zeigen [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G: gH=Hg

Ja.

>  Falls g [mm]\in[/mm] H, dann ist gH=H=Hg, da H eine bzgl. "*"
> abgeschlossene Menge ist.

Ja.

>  Andernfalls, wenn g [mm]\not\in[/mm] H, dann gilt g=g*1 [mm]\in[/mm] gH= G/H
> und g= 1*g [mm]\in[/mm] Hg=G/H. Und damit gH=Hg
>  Ist das richtig?

Vermutlich ist das richtig. Um es genauer beurteilen zu koennen, muesstest Du sagen, wie $[G:H]$ definiert ist. Ausserdem muesstest Du deutlich machen, wo genau die Voraussetzung eingeht. Was meinst Du mit $gH= G/H$und $Hg= G/H$? Sind das Links- oder Rechtsnebenklassen? Wie folgt daraus die Gleicheit der beiden Mengen? Ich vermute stark, dass man Teil i) gut benutzen kann.


> Und kann jemand ein Tipp zu i) geben?

Finde eine Bijektion.

>  


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