Rechtwinkliger Schnitt Kurven < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 So 18.09.2011 | | Autor: | mathey |
| Aufgabe | Für welchen Wert von t schneiden sich die Kurven rechtwinklig?
[mm] $f(x)=\frac{t}{x^2}$
[/mm]
[mm] $g(x)=\frac{x^2}{t}$ [/mm] |
Hallo,
zwei Funktionen schneiden sich ja dann rechtwinklig, wenn gilt
[mm] $m_1=\frac{-1}{m_2}$
[/mm]
und da m der Steigung, also der Ableitung entspricht, gilt:
[mm] $m_1=f'(x)=\frac{-3t}{x^3}$
[/mm]
[mm] $m_2=g'(x)=\frac{2x}{t}$
[/mm]
=> [mm] $f'(x)=\frac{-1}{g'(x)}$
[/mm]
=> [mm] $\frac{-3t}{x^3}=\frac{-1}{\frac{2x}{t}}$
[/mm]
=> [mm] $\frac{-3t}{x^3}=\frac{-t}{2x}$
[/mm]
=> [mm] $6=x^2$
[/mm]
An dieser Stelle bin ich verwundert; ich hätte erwartet, dass sich x wegkürzt und ich einen Wert für t erhalte. Denn ich suche ja nicht die Stelle an der sich die Kurven schneiden, sondern den entsprechenden Parameter.
Wenn ich also hinnehme, dass ich einen Wert für x erhalte und diesen in die Gleichung von eben einsetze, erhalte ich:
[mm] $6=x^2$
[/mm]
=> [mm] $\pm\wurzel{6}=x$
[/mm]
=> I) [mm] $\frac{-3t}{\wurzel{6}^3}=\frac{-1}{\frac{2\wurzel{6}}{t}}$
[/mm]
II) [mm] $\frac{-3t}{(-\wurzel{6})^3}=\frac{-1}{\frac{2(-\wurzel{6})}{t}}$
[/mm]
=> aus diesen beiden Gleichungen lässt sich nicht auf t schließen (es kürzt sich bei beiden Gleichungen jeweils weg), ist ja auch logisch, da man für 2 Unbekannte auch zwei Gleichungen braucht.
Wo ist mein Fehler? Wie komme ich auf t?
Vielen Danke im Voraus für eure Antworten.
Grüße
mathey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 18.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Für welchen Wert von t schneiden sich die Kurven
> rechtwinklig?
>
> [mm]f(x)=\frac{t}{x^2}[/mm]
>
> [mm]g(x)=\frac{x^2}{t}[/mm]
> Hallo,
>
> zwei Funktionen schneiden sich ja dann rechtwinklig, wenn
> gilt
>
> [mm]m_1=\frac{-1}{m_2}[/mm]
Das ist richtig, aber für deine nachfolgende Rechnerei unhandlich.
Umgestellt muss gelten [mm] m_1 [/mm] * [mm] m_2 [/mm] = -1 .
>
> und da m der Steigung, also der Ableitung entspricht,
> gilt:
>
> [mm]m_1=f'(x)=\frac{-3t}{x^3}[/mm]
Da Ableitung von [mm] x^{-2} [/mm] ist aber [mm] \red{-2}x^{-3 }.
[/mm]
Interessant ist aber erst einmal: WO schneiden sich f(x) und g(x)?
Erst dann kannst du schauen, wie die beiden Anstiege DORT beschaffen sind.
Gruß Abakus
>
> [mm]m_2=g'(x)=\frac{2x}{t}[/mm]
>
> => [mm]f'(x)=\frac{-1}{g'(x)}[/mm]
>
> => [mm]\frac{-3t}{x^3}=\frac{-1}{\frac{2x}{t}}[/mm]
>
>
>
> => [mm]\frac{-3t}{x^3}=\frac{-t}{2x}[/mm]
>
> => [mm]6=x^2[/mm]
>
> An dieser Stelle bin ich verwundert; ich hätte erwartet,
> dass sich x wegkürzt und ich einen Wert für t erhalte.
> Denn ich suche ja nicht die Stelle an der sich die Kurven
> schneiden, sondern den entsprechenden Parameter.
>
> Wenn ich also hinnehme, dass ich einen Wert für x erhalte
> und diesen in die Gleichung von eben einsetze, erhalte
> ich:
>
> [mm]6=x^2[/mm]
> => [mm]\pm\wurzel{6}=x[/mm]
>
> => I)
> [mm]\frac{-3t}{\wurzel{6}^3}=\frac{-1}{\frac{2\wurzel{6}}{t}}[/mm]
> II)
> [mm]\frac{-3t}{(-\wurzel{6})^3}=\frac{-1}{\frac{2(-\wurzel{6})}{t}}[/mm]
>
> => aus diesen beiden Gleichungen lässt sich nicht auf t
> schließen (es kürzt sich bei beiden Gleichungen jeweils
> weg), ist ja auch logisch, da man für 2 Unbekannte auch
> zwei Gleichungen braucht.
>
> Wo ist mein Fehler? Wie komme ich auf t?
>
>
> Vielen Danke im Voraus für eure Antworten.
>
>
> Grüße
>
> mathey
|
|
|
|
