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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
[mm] y''-(2x+\bruch{3}{x})y'+(2+\bruch{3}{x^{2}})y=2x^{2}-1
[/mm]
mit Hilfe der speziellen Lösung [mm] y_{1}(x)=x [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei eine Aufgabe die wir in der Vorlesung durchgenommen haben selbstständig zu lösen und stoße dabei auf einige Fragen. Vielleicht könntet Ihr bitte mal über meine Lösung drüber schauen und mir meine Fehler aufzeigen. Bin allerdings nicht der Fitteste im Integrieren... Sorry.
Mein bisheriger Lösungsansatz nach der 1.Substitution (z'=u) lautet:
[mm] u'+u\bruch{-1-2x^{2}}{x}=\bruch{-1-2x^{2}}{x}
[/mm]
Nun folgt das Integral für die inhomogene DGL
nach unserer Skriptformel wäre das
[mm] u(x)=e^{-\integral_{}^{}{p(x) dx}} (\integral_{}^{}{r(x) dx} e^{-\integral_{}^{}{p(x) dx}}+C)
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] u(x)=e^{-\integral_{}^{}{ \bruch{-1-2x^{2}}{x} dx}} (\integral_{}^{}{\bruch{-1-2x^{2}}{x}}e^{-\integral_{}^{}{\bruch{-1-2x^{2}}{x} dx}}dx+C)
[/mm]
Zwischenschritt1:
[mm] u(x)=xe^{x^{2}} (\integral_{}^{}{\bruch{-1-2x^{2}}{x}}xe^{x^{2}}dx+C)
[/mm]
Zwischenschritt2:
[mm] u(x)=xe^{x^{2}} (\integral_{}^{}{(\bruch{-1}{x}-2x})xe^{x^{2}}dx+C)
[/mm]
Zwischenschritt3:
[mm] u(x)=xe^{x^{2}} (\integral_{}^{}{(-e^{x^{2}}}-2x^{2}e^{x^{2}})dx+C)
[/mm]
Zwischenschritt4:
[mm] u(x)=xe^{x^{2}} (\bruch{-e^{x^{}2}}{2x}\integral_{}^{}{(-2x^{2}e^{x^{2}})}dx+C)
[/mm]
Zwischenschritt5:
[mm] u(x)=xe^{x^{2}} (\bruch{-e^{x^{}2}}{2x}-e^{x^{2}}+\bruch{e^{x^{2}}}{x}+C)
[/mm]
Als Lösung des Integrals hätte ich:
[mm] u(x)=e^{2x^{2}} (\bruch{1}{2}-x)+Cxe^{x^{2}}
[/mm]
Die Konstanten wurde von direkt zusammengefaßt (Hoffe auch richtig?).
Die Lösung die wir in der Vorlesung herausbekommen haben war:
[mm] u(x)=Kxe^{x^{2}}+1
[/mm]
Da es da ja jetzt schon einen "kleinen" Unterschied gibt ;) habe ich y gar nicht erst probiert und hoffe auf Eure Hilfe. Mittlerweile bin ich nämlich matheblind durch das ganze Nachvollziehen der Rechnung.
Danke im Voraus!
Bastian
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Hallo v6bastian,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
>
> [mm]y''-(2x+\bruch{3}{x})y'+(2+\bruch{3}{x^{2}})y=2x^{2}-1[/mm]
>
> mit Hilfe der speziellen Lösung [mm]y_{1}(x)=x[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich bin gerade dabei eine Aufgabe die wir in der Vorlesung
> durchgenommen haben selbstständig zu lösen und stoße
> dabei auf einige Fragen. Vielleicht könntet Ihr bitte mal
> über meine Lösung drüber schauen und mir meine Fehler
> aufzeigen. Bin allerdings nicht der Fitteste im
> Integrieren... Sorry.
>
>
> Mein bisheriger Lösungsansatz nach der 1.Substitution
> (z'=u) lautet:
>
> [mm]u'+u\bruch{-1-2x^{2}}{x}=\bruch{-1-2x^{2}}{x}[/mm]
>
Ist die Transformation
[mm]u\left(x\right)=\bruch{d}[dx}\bruch{y\left(x\right)}{x}[/mm]
angewendet worden, so lautet die transformtierte DGL:
[mm]u'+u\bruch{-1-2x^{2}}{x}=\bruch{-1\blue{+}2x^{2}}{x}[/mm]
> Nun folgt das Integral für die inhomogene DGL
>
> nach unserer Skriptformel wäre das
>
> [mm]u(x)=e^{-\integral_{}^{}{p(x) dx}} (\integral_{}^{}{r(x) dx} e^{-\integral_{}^{}{p(x) dx}}+C)[/mm]
>
> Eingesetzt:
>
> [mm]u(x)=e^{-\integral_{}^{}{ \bruch{-1-2x^{2}}{x} dx}} (\integral_{}^{}{\bruch{-1-2x^{2}}{x}}e^{-\integral_{}^{}{\bruch{-1-2x^{2}}{x} dx}}dx+C)[/mm]
>
> Zwischenschritt1:
>
> [mm]u(x)=xe^{x^{2}} (\integral_{}^{}{\bruch{-1-2x^{2}}{x}}xe^{x^{2}}dx+C)[/mm]
>
> Zwischenschritt2:
>
> [mm]u(x)=xe^{x^{2}} (\integral_{}^{}{(\bruch{-1}{x}-2x})xe^{x^{2}}dx+C)[/mm]
>
> Zwischenschritt3:
>
> [mm]u(x)=xe^{x^{2}} (\integral_{}^{}{(-e^{x^{2}}}-2x^{2}e^{x^{2}})dx+C)[/mm]
>
> Zwischenschritt4:
>
> [mm]u(x)=xe^{x^{2}} (\bruch{-e^{x^{}2}}{2x}\integral_{}^{}{(-2x^{2}e^{x^{2}})}dx+C)[/mm]
>
> Zwischenschritt5:
>
> [mm]u(x)=xe^{x^{2}} (\bruch{-e^{x^{}2}}{2x}-e^{x^{2}}+\bruch{e^{x^{2}}}{x}+C)[/mm]
>
> Als Lösung des Integrals hätte ich:
>
> [mm]u(x)=e^{2x^{2}} (\bruch{1}{2}-x)+Cxe^{x^{2}}[/mm]
>
> Die Konstanten wurde von direkt zusammengefaßt (Hoffe auch
> richtig?).
>
>
> Die Lösung die wir in der Vorlesung herausbekommen haben
> war:
>
> [mm]u(x)=Kxe^{x^{2}}+1[/mm]
>
> Da es da ja jetzt schon einen "kleinen" Unterschied gibt ;)
> habe ich y gar nicht erst probiert und hoffe auf Eure
> Hilfe. Mittlerweile bin ich nämlich matheblind durch das
> ganze Nachvollziehen der Rechnung.
>
> Danke im Voraus!
> Bastian
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Korrektur
[mm] y''-(2x+\bruch{3}{x})y'+(2+\bruch{3}{x^{2}})y=-2x^{2}-1 [/mm] |
Ich muss mich entschuldigen. Bei der ganzen Tipperei habe ich leider ein Minus im rechten Teil der Aufgabengleichung vergessen.
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Hallo v6bastian,
> Korrektur
>
> [mm]y''-(2x+\bruch{3}{x})y'+(2+\bruch{3}{x^{2}})y=-2x^{2}-1[/mm]
> Ich muss mich entschuldigen. Bei der ganzen Tipperei habe
> ich leider ein Minus im rechten Teil der Aufgabengleichung
> vergessen.
Die Formel im Skript ist offenbar nicht ganz richtig:
[mm]u(x)=e^{-\integral_{}^{}{ \bruch{-1-2x^{2}}{x} dx}} (\integral_{}^{}{\bruch{-1-2x^{2}}{x}}e^{\blue{+}\integral_{}^{}{\bruch{-1-2x^{2}}{x} dx}}dx+C)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Mi 12.12.2012 | | Autor: | v6bastian |
Vielen Dank für den Tipp!
Die Kopie ist offensichtlich schon mehrfach kopiert worden ;) Bei genauer Betrachtung ist das Minus auch leicht schräg und doch eher wohl Dreck bzw. ein Kopierfehler.
Danke noch mal!
Gruß Bastian
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