Reduktion der Ordnung DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Reduziere die Ordnung der DGL durch erraten einer Lösung und gib dann die allg Lösung an
(1-x)y"+xy'-y=0 |
Kann mir hier mal jemand helfen :)
ich habe noch nicht allzuviel Erfahrung mit DGL (wie man in anderen Themen von mir sicher erkennen kann ;) und tu mir daher auch schwer damit, hier eine Lösung zu erraten..
kann man hier "halbwegs systematisch" vorgehen`? Wie reduziere ich die Ordnung bei Kenntnis einer Lösung?
Lg
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Hallo,
> Reduziere die Ordnung der DGL durch erraten einer Lösung
> und gib dann die allg Lösung an
>
> (1-x)y"+xy'-y=0
> Kann mir hier mal jemand helfen :)
>
> ich habe noch nicht allzuviel Erfahrung mit DGL (wie man in
> anderen Themen von mir sicher erkennen kann ;) und tu mir
> daher auch schwer damit, hier eine Lösung zu erraten..
Eine nahe liegende Lösung wäre z. B. [mm] y_1=x [/mm] .
> kann man hier "halbwegs systematisch" vorgehen'? Wie
> reduziere ich die Ordnung bei Kenntnis einer Lösung?
>
> Lg
ich habe das auch eben zum ersten mal nachgeschlagen:
![[]](/images/popup.gif) http://phong.informatik.uni-leipzig.de/~kuska/mathmeth/lecture2.pdf
$y=x*u(x)$
$y'=u(x)+x*u'(x)$
$y''=2u'(x)+x*u''(x)$
Das jetzt in die DGL einsetzen:
$(1-x)*(2u'(x)+x*u''(x))+x*(u(x)+x*u'(x))-x*u(x)=0$
[mm] $(x-x^2)*u''(x)+(x^2-2x+2)*u'(x) [/mm] =0$
Die Ordnung dieser DGL ist nun um 1 reduziert.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Aber die DGL hat ja noch immer 2. Ordnung ;)
verstehe ich jetzt nicht ganz! Kann man die neue Gleichung wirklich leichter lösen?
lg
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Hallo,
vielleicht kann man substituieren:
u'(x) = z(x) und u''(x)=z'(x).
Das z(x) lässt sich dann noch durch Separation der Variablen bestimmen. Aber die Resubstitution (Integration) wird dann unschön.
Da ich hier nicht weiter weiß, lasse ich auf halbbeantwortet.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Mo 16.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
martinius hat recht, du hast wirklich ne DGL von einem Grad niedriger allerdings nicht für u sondern für u'=z
die ist direkt zu löseen, u dann das Integral davon.
Einen anderen Weg seh ich auch nicht.
ich glaub, es wird einfacher wenn die "geratene Lösung " [mm] y=e^x [/mm] ist.
Dann ist die entstehende Dgl für u' einfacher,aber das musst du ausprobieren!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
mit der von leduart vorgeschlagenen ("geratenen") Lösung [mm] y_1=e^x [/mm] funktioniert die Reduktion der Ordnung der DGL:
$(1-x)*y''+x*y'-y=0$
[mm] $y_1=e^x$
[/mm]
[mm] $y=e^x*u(x)$
[/mm]
[mm] $y'=e^x*(u(x)+u'(x))$
[/mm]
[mm] $y''=e^x*(u(x)+2u'(x)+u''(x))$
[/mm]
Einsetzen in die DGL:
[mm] $(u+2u'+u''-xu-2xu'-xu''+xu+xu'-u))*e^x=0$
[/mm]
$(-x+1)u''+(-x+2)u'=0$
$(-x+1)z'+(-x+2)z=0$
[mm] $\integral \bruch{1}{z}\;dz=\integral \bruch{x-2}{-x+1}\;dx$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{z}\;dz=-1+\integral \bruch{1}{x-1}\;dx$
[/mm]
[mm] $ln|z|=-x+ln|x-1|+ln|C_1'|$
[/mm]
[mm] $z=C_1'*e^{-x}*(x-1)$
[/mm]
[mm] $u=C_1'*\integral xe^{-x}-e^{-x}\;dx$
[/mm]
[mm] $u=C_1'*(-xe^{-x}+\integral e^{-x}\;dx-\integral e^{-x}\;dx)$
[/mm]
[mm] $u(x)=-C_1'x*e^{-x}+C_2$
[/mm]
Nun nimmt man die Ausgangsgleichung her:
[mm] $y=e^x*u(x)$
[/mm]
[mm] $y=C_1*x+C_2*e^x$
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
die andere Möglichkeit funktioniert genauso; ich hatte mich gestern nur verrechnet.
$(1-x)y''+x*y'-y=0$
[mm] $y_1=x$
[/mm]
$y=x*u(x)$
$y'=u(x)+x*u'(x)$
$y''=2u'(x)+x*u''(x)$
Das jetzt in die DGL einsetzen:
$(1-x)*(2u'(x)+x*u''(x))+x*(u(x)+x*u'(x))-x*u(x)=0$
[mm] $(x-x^2)*u''(x)+(x^2-2x+2)*u'(x) [/mm] =0$
[mm] $(x-x^2)*z'+(x^2-2x+2)*z [/mm] =0$
[mm] $\integral \bruch{1}{z}\;dz=\integral \bruch{-x^2+2x-2}{-x^2+x}\;dx$ [/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{z}\;dz=\integral 1-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2-x}\;dx$ [/mm]
[mm] $ln(z)=x-2ln|x|+ln|x-1|+ln|C_1|$
[/mm]
[mm] $z=C_1*e^{x}*\bruch{x-1}{x^2}$
[/mm]
[mm] $u=C_1*\integral e^{x}*\bruch{x-1}{x^2} \;dx$
[/mm]
[mm] $u=C_1*\bruch{e^x}{x}+C_2$
[/mm]
$y=x*u(x)$
[mm] $y=C_1*e^x+C_2*x$
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mo 16.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für eure Hilfe! Konnte alle Bsp dieser Art lösen :)
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