Reduktionsoperator < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definition des Standard-Reduktions-Operators:
[mm] \rho [/mm] (a,b,c) = (c, r(-b, c) , [mm] \bruch{ (r(-b, c)^{2}) -\Delta}{4c} [/mm] )
wobei r(-b, c) definiert ist durch die eindeutige Primzahl r, so dass r + b [mm] \equiv [/mm] 0 mod 2c und
-|c| < r [mm] \le [/mm] |c| falls [mm] \wurzel{\Delta} [/mm] < |c|,
[mm] \wurzel{\Delta} [/mm] - 2|c| < r < [mm] \wurzel{\Delta} [/mm] falls |c| < [mm] \wurzel{\Delta} [/mm] |
Guten Morgen :)
ich habe eine Frage:
Wenn ich obige Definition auf die quadratische Form [mm] F_0 [/mm] = (a, b, c) = (1, 560, -331) anwende, stimmt es dann, dass ich auf [mm] F_1 [/mm] = (-331, 102, 230) komme?
ich habe das so ausgerechnet:
r [mm] \equiv [/mm] -560 mod 2*331, also r [mm] \equiv [/mm] -560 mod 662, also ist r ja 102, also muss ich das dann ja an die zweite Stelle in der Klammer schreiben oder?
und auf die 230 bin ich folgendermaßen gekommen:
[mm] \bruch{102^{2} - 4*314924 }{4*-331},
[/mm]
314924 ist mein N in diesem Fall, also das ist gegeben.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bestätigen könnte, ob das so richtig ist? oder falls nicht, was ich falsch mache....
vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Do 16.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Definition des Standard-Reduktions-Operators:
>
> [mm]\rho[/mm] (a,b,c) = (c, r(-b, c) , [mm]\bruch{ (r(-b, c)^{2}) -\Delta}{4c}[/mm]
> )
>
> wobei r(-b, c) definiert ist durch die eindeutige Primzahl
> r, so dass r + b [mm]\equiv[/mm] 0 mod 2c und
> -|c| < r [mm]\le[/mm] |c| falls [mm]\wurzel{\Delta}[/mm] < |c|,
> [mm]\wurzel{\Delta}[/mm] - 2|c| < r < [mm]\wurzel{\Delta}[/mm] falls |c| <
> [mm]\wurzel{\Delta}[/mm]
Bist du dir sicher, dass $r(-b, c)$ eine Primzahl sein soll? Es gibt genau eine einzige ganze Zahl $r(-b, c)$, die diese Bedingungen erfuellt, und die Chance, dass es gleich eine Primzahl ist, ist ziemlich klein.
> Guten Morgen :)
>
> ich habe eine Frage:
>
> Wenn ich obige Definition auf die quadratische Form [mm]F_0[/mm] =
> (a, b, c) = (1, 560, -331) anwende, stimmt es dann, dass
> ich auf [mm]F_1[/mm] = (-331, 102, 230) komme?
Ja.
> ich habe das so ausgerechnet:
> r [mm]\equiv[/mm] -560 mod 2*331, also r [mm]\equiv[/mm] -560 mod 662, also
> ist r ja 102, also muss ich das dann ja an die zweite
> Stelle in der Klammer schreiben oder?
Genau. Und hier siehst du schon, dass $102$ gar keine Primzahl ist 
LG Felix
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Hallo felix,
erstmal vielen Dank. Du hast natürlich recht, keine Primzahl sondern eine ganze Zahl, hatte mich beim Übersetzen vertan....
Falls nun [mm] F_0 [/mm] = (134, -454, -203) ist und ich den Reduktionsoperator darauf anwende, müsste doch eigentlich [mm] F_1 [/mm] = (-203, 860, -523) herauskommen, oder?
Rechnung:
r [mm] \equiv [/mm] -b mod 2c
r-454 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 406
r = 860
[mm] \bruch{860^2-4N}{4*-203} [/mm] = -523, wobei N wieder gegeben ist mit 314924.
Stimmt das auch? Ich bin mittlerweile ziemlich unsicher, ich versuche gerade einen Algorithmus zu verstehen, bei dem der Reduktionsoperator vorkommt, aber leider komm ich nie auf das richtige Ergebnis, deshalb bin ich nun auf der Suche nach meinem Denkfehler....
Viele Grüße
Pepino
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Do 16.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Pepino!
> Falls nun [mm]F_0[/mm] = (134, -454, -203) ist und ich den
> Reduktionsoperator darauf anwende, müsste doch eigentlich
> [mm]F_1[/mm] = (-203, 860, -523) herauskommen, oder?
Bei mir kommt $(-203, 48, 385)$ raus.
> Rechnung:
> r [mm]\equiv[/mm] -b mod 2c
> r-454 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 406
> r = 860
Moment. Es gilt zwar $r [mm] \equiv [/mm] 860 [mm] \pmod{406}$, [/mm] aber auch $r [mm] \equiv [/mm] 48 [mm] \pmod{406}$. [/mm] Nun ist jedoch $|48| < [mm] \sqrt{\Delta}$, [/mm] weshalb du $r = 48$ nehmen musst und nicht $r = 860$!
> [mm]\bruch{860^2-4N}{4*-203}[/mm] = -523, wobei N wieder gegeben ist
> mit 314924.
Du meinst eher [mm] $\frac{860^2 - N}{4 * (-203)}$, [/mm] falls $N = 314924$ ist. Dann kommt auch -523 raus.
Wenn man 48 anstelle 860 einsetzt, kommt 385 heraus.
> Stimmt das auch? Ich bin mittlerweile ziemlich unsicher,
> ich versuche gerade einen Algorithmus zu verstehen, bei dem
> der Reduktionsoperator vorkommt, aber leider komm ich nie
> auf das richtige Ergebnis, deshalb bin ich nun auf der
> Suche nach meinem Denkfehler....
Was fuer ein Algorithmus ist es denn? Geht es zufaellig um die Berechnung von Fundamentaleinheiten in quadratischen Zahlkoerpern, oder um die Loesung von Pellschen Gleichungen?
LG Felix
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Hi Felix,
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> > Falls nun [mm]F_0[/mm] = (134, -454, -203) ist und ich den
> > Reduktionsoperator darauf anwende, müsste doch eigentlich
> > [mm]F_1[/mm] = (-203, 860, -523) herauskommen, oder?
>
> Bei mir kommt [mm](-203, 48, 385)[/mm] raus.
>
> > Rechnung:
> > r [mm]\equiv[/mm] -b mod 2c
> > r-454 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 406
> > r = 860
>
> Moment. Es gilt zwar [mm]r \equiv 860 \pmod{406}[/mm], aber auch [mm]r \equiv 48 \pmod{406}[/mm].
Oh super, 1000 Dank, jetzt habe ich schon meinen ersten Denkfehler gefunden :D
> Nun ist jedoch [mm]|48| < \sqrt{\Delta}[/mm], weshalb du [mm]r = 48[/mm]
> nehmen musst und nicht [mm]r = 860[/mm]!
okay, aber hier habe ich noch eine Frage: es gilt ja, dass der Betrag von c echt kleiner als die Wurzel der Diskriminante ist, wobei wir dann ja im 2:Fall sind, jetzt muss da ja aber auch gelten, dass [mm] \wurzel{\Delta}-2|c| [/mm] < r ist, aber das wäre hier doch dann 155 < 48 und das ist doch dann falsch oder? Was muss ich denn da jetzt machen? mach ich dann 48+406, da wir ja modulo 406 rechnen und habe dann 454 als r?
>
> > [mm]\bruch{860^2-4N}{4*-203}[/mm] = -523, wobei N wieder gegeben ist
> > mit 314924.
>
> Du meinst eher [mm]\frac{860^2 - N}{4 * (-203)}[/mm], falls [mm]N = 314924[/mm]
> ist. Dann kommt auch -523 raus.
> Ja, genau, N ist 78731 und 4N ist 314924
> Wenn man 48 anstelle 860 einsetzt, kommt 385 heraus.
>
> > Stimmt das auch? Ich bin mittlerweile ziemlich unsicher,
> > ich versuche gerade einen Algorithmus zu verstehen, bei dem
> > der Reduktionsoperator vorkommt, aber leider komm ich nie
> > auf das richtige Ergebnis, deshalb bin ich nun auf der
> > Suche nach meinem Denkfehler....
>
> Was fuer ein Algorithmus ist es denn? Geht es zufaellig um
> die Berechnung von Fundamentaleinheiten in quadratischen
> Zahlkoerpern, oder um die Loesung von Pellschen
> Gleichungen?
Nicht ganz, es ist der SQUFOF von Daniel Shanks und ich habe hier eine Beschreibung komplett mit quadratischen Formen, die ich nachrechnen möchte, aber wie du siehst, klappt es vorne und hinten nicht ;)
Viele Grüße,
Pepino
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Pepino1313 |
Guten Morgen :)
ich bin immernoch sehr an einer Antwort bzw. Erklärung interessiert und es wäre wirklich super, wenn mir jemand weiter helfen könnte!
Viele Grüße
Pepino
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mi 22.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Pepino,
sorry, hatte deine Frage uebersehen bzw. aus den Augen verloren...
> > > Falls nun [mm]F_0[/mm] = (134, -454, -203) ist und ich den
> > > Reduktionsoperator darauf anwende, müsste doch eigentlich
> > > [mm]F_1[/mm] = (-203, 860, -523) herauskommen, oder?
> >
> > Bei mir kommt [mm](-203, 48, 385)[/mm] raus.
> >
> > > Rechnung:
> > > r [mm]\equiv[/mm] -b mod 2c
> > > r-454 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 406
> > > r = 860
> >
> > Moment. Es gilt zwar [mm]r \equiv 860 \pmod{406}[/mm], aber auch [mm]r \equiv 48 \pmod{406}[/mm].
> Oh super, 1000 Dank, jetzt habe ich schon meinen ersten
> Denkfehler gefunden :D
>
> > Nun ist jedoch [mm]|48| < \sqrt{\Delta}[/mm], weshalb du [mm]r = 48[/mm]
> > nehmen musst und nicht [mm]r = 860[/mm]!
>
> okay, aber hier habe ich noch eine Frage: es gilt ja, dass
> der Betrag von c echt kleiner als die Wurzel der
> Diskriminante ist, wobei wir dann ja im 2:Fall sind, jetzt
> muss da ja aber auch gelten, dass [mm]\wurzel{\Delta}-2|c|[/mm] < r
> ist, aber das wäre hier doch dann 155 < 48 und das ist
> doch dann falsch oder? Was muss ich denn da jetzt machen?
> mach ich dann 48+406, da wir ja modulo 406 rechnen und habe
> dann 454 als r?
Stimmt. Ja, dann ist $r = 454$.
> > > Stimmt das auch? Ich bin mittlerweile ziemlich unsicher,
> > > ich versuche gerade einen Algorithmus zu verstehen, bei dem
> > > der Reduktionsoperator vorkommt, aber leider komm ich nie
> > > auf das richtige Ergebnis, deshalb bin ich nun auf der
> > > Suche nach meinem Denkfehler....
> >
> > Was fuer ein Algorithmus ist es denn? Geht es zufaellig um
> > die Berechnung von Fundamentaleinheiten in quadratischen
> > Zahlkoerpern, oder um die Loesung von Pellschen
> > Gleichungen?
>
> Nicht ganz, es ist der SQUFOF von Daniel Shanks und ich
> habe hier eine Beschreibung komplett mit quadratischen
> Formen, die ich nachrechnen möchte, aber wie du siehst,
> klappt es vorne und hinten nicht ;)
Ah, du willst also faktorisieren :)
LG Felix
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Hi Felix,
genau ich habe vor die Zahl 78731 zu faktorisieren ;) und habe jetzt mit Hilfe deiner Tipps die folgenden quadratischen Formen ausgerechnet (immer wieder den [mm] \rho [/mm] Operator angewendet):
[mm] f_0 [/mm] = (1, 560, -331)
[mm] f_1 [/mm] = (-331, 102, 230)
[mm] f_2 [/mm] = (230, 358, -203)
[mm] f_3 [/mm] = (-203, 454, 134)
[mm] f_4 [/mm] = (134, 350, -359)
[mm] f_5 [/mm] = (-359, 368, 125)
[mm] f_6 [/mm] = (125, 382, -338)
[mm] f_7 [/mm] = (-338, 294, 169)
Man macht dies solange bis C eine Quadratzahl ist, also hier 169 = 13*13
So und jetzt kommt mein nächstes Problem: Der Algorithmus möchte nun von mit, dass ich die inverse Wurzel der quadratischen Form folgendermaßen berechne:
Ich soll G = (a, b, c) = [mm] \rho((cA, [/mm] -B, -C)) berechnen, wobei c die Wurzel von C ist.
Das verstehe ich folgendermaßen: (cA, -B, -C) = (13*338, -294, -169) und darauf soll ich wieder den Reduktionsoperator [mm] \rho [/mm] anwenden: G = (-169, 382, 250), darauf komme ich folgendermaßen: [mm] f^{-1/2} [/mm] = (4394, -294, -169) und darauf [mm] \rho [/mm] angewendet:
2*169 = 338
338 - 294 = 44
Wir sind bei der zweiten Bedingung und [mm] \sqrt{D} [/mm] - 2|c| = 223 < 44 + 169 *2 < 561, also ist r = 382.
und [mm] \frac{382^2 - 314924}{4*-169} [/mm] = 250.
Habe ich das richtig gemacht und richtig verstanden?
Im nächsten Schritt müsste ich in die entgegengesetzte Richtung "cyclen" und [mm] \rho [/mm] solange auf [mm] G_i [/mm] anwenden bis zwei aufeinanderfolgende b's übereinstimmen....
Viele Grüße
Pepino
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Do 23.08.2012 | | Autor: | Pepino1313 |
Guten Morgen :)
Ich habe noch eine weitere Frage. in der englischen Literatur heißt es standard reduction operator. Wir das als allgemeiner Reduktionsoperator übersetzt? Wie heißt das denn in der deutschen Fachliteratur?
Viele Grüße
Pepino
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Fr 24.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Pepino,
> Ich habe noch eine weitere Frage. in der englischen
> Literatur heißt es standard reduction operator. Wir das
> als allgemeiner Reduktionsoperator übersetzt? Wie heißt
> das denn in der deutschen Fachliteratur?
Ich denke man kann schon Reduktionsoperator sagen. Die meiste Fachliteratur zum Thema ist eh auf englisch...
Auf Deutsch kann man auch einfach von Reduktion (als Vorgang) sprechen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 30.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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