Reelle Polynome Grad 2 < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:56 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $V=\IR \left[t\right]_{2}$ [/mm] und sei $f$ in $End V$ durch $f(P)=Q$ definiert, wobei $Q(t)=P(1+t)$
i) Berechne [mm] $\Psi_{B}(f)$ [/mm] für [mm] $B=(1,t,t^{2})$
[/mm]
ii) Finde B in [mm] $M_{R}(3)$ [/mm] mit [mm] $B^{2011}=\vektor{1&1&1 \\ 0& 1 & 2 \\ 0& 0 & 1}$ [/mm] |
Hallo
i) [mm] $(1,t,t^{2}) \rightarrow (1,1+t,t^{2}+2t+1) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \Psi_{B}(f)=\vektor{1&1&1 \\ 0&1&2 \\ 0&0&1}$
[/mm]
ii) habe ich die Eigenwerte von [mm] $B^{2011}$ [/mm] gerechnet: [mm] $\lambda_{1/2/3}=1$
[/mm]
Und die Basiselemente der Eigenräume: [mm] $\vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
Wie komme ich auf B?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Sei [mm]V=\IR \left[t\right]_{2}[/mm] und sei [mm]f[/mm] in [mm]End V[/mm] durch
> [mm]f(P)=Q[/mm] definiert, wobei [mm]Q(t)=P(1+t)[/mm]
>
> i) Berechne [mm]\Psi_{B}(f)[/mm] für [mm]B=(1,t,t^{2})[/mm]
Hier ist B Bezeichnung für eine Basis
> ii) Finde B in [mm]M_{R}(3)[/mm] mit [mm]B^{2011}=\vektor{1&1&1 \\ 0& 1 & 2 \\ 0& 0 & 1}[/mm]
und hier für eine Matrix. Sicher, dass die Aufgabe so gestellt wurde?
>
> Hallo
>
> i) [mm](1,t,t^{2}) \rightarrow (1,1+t,t^{2}+2t+1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \Psi_{B}(f)=\vektor{1&1&1 \\ 0&1&2 \\ 0&0&1}[/mm]
>
> ii) habe ich die Eigenwerte von [mm]B^{2011}[/mm] gerechnet:
> [mm]\lambda_{1/2/3}=1[/mm]
>
> Und die Basiselemente der Eigenräume: [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie komme ich auf B?
Mein Ansatz:
Überlege dir induktiv, dass
[mm] \pmat{1&a&b\\0&1&c\\0&0&1}^n=\pmat{1&na&\frac{n(n-1)}{2}ac+nb\\0&1&nc\\0&0&1}
[/mm]
Für n=2011 müsstest du das Ergebnis auf der rechten Seite mit der angegeben Matrix vergleichen.
>
>
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
>
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
> und hier für eine Matrix. Sicher, dass die Aufgabe so gestellt wurde?
> daumenhoch
> Mein Ansatz:
> Überlege dir induktiv, dass
Hast du das durch ausprobieren rausgefunden oder gibt es bestimmte Eigenschaften der Matrix, durch welche du drauf gekommen bist?
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo kamaleonti,
>
>
> > und hier für eine Matrix. Sicher, dass die Aufgabe so
> gestellt wurde?
>
> > daumenhoch
>
> > Mein Ansatz:
> > Überlege dir induktiv, dass
>
> Hast du das durch ausprobieren rausgefunden oder gibt es
> bestimmte Eigenschaften der Matrix, durch welche du drauf
> gekommen bist?
Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von B so ist [mm] \lambda^{2011} [/mm] ein Eigenwert von [mm] B^{2011}. [/mm] Somit ist [mm] \lambda=1
[/mm]
B hat also den 3 -fachen Eigenwert 1. Daher ist der Ansatz von kamaleonti naheliegend.
Dann hat er wahrscheinlich [mm] B^2 [/mm] , .. berechnet, kam so zu einer Vermutung für [mm] B^n, [/mm] welcher er dann induktiv bestätigt hat
FRED
>
>
> > LG
>
> Danke!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> FRED
Ok! Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
