Reelle Zahlen - Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:42 So 07.05.2006 | | Autor: | muppi |
| Aufgabe | Beweisen Sie für x,y [mm] \in [/mm] R:
(a) x<y [mm] \Rightarrow x^{3}
(b) xy [mm] \le \varepsilon x^{2}+\bruch{1}{ \varepsilon} y^{2} [/mm] für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich wäre sehr dankbar für Hilfe. Kann leider die Lösung nicht finden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 So 07.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Hallo!
(1) weil $x-> [mm] x^3$ [/mm] eine streng monoton wachsende fkt ist (f'>0)
oder aber elementare Lösung mit
[mm] $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ [/mm] und die zweite Klammer ist
nach (2) mit [mm] $\epsilon:=1$ [/mm] stets größer als 0 (checken!)
(2) offenbar genügt [mm] $xy\geq [/mm] 0$ anzunehmen. Rechne mal
[mm] $(\sqrt{\epsilon}x-\frac{y}{\sqrt{\epsilon}})^2\geq [/mm] 0$ aus!
Gruss topotyp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 08.05.2006 | | Autor: | muppi |
Bei (b) war ich schon so weit, aber weiss nicht weiter.
Ich habe
[mm] \varepsilon x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\varepsilon} y^{2} \ge [/mm] 2xy.
Und was soll mit der 2 tun?
Bei (a) habe ich [mm] x^{2}+xy+y^{2} [/mm] und
nicht [mm] x^{2}-xy+y^{2} [/mm] wie bei (b). Wie kann ich das beweisen?
Ich komme leider nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Di 09.05.2006 | | Autor: | topotyp |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 08.05.2006 | | Autor: | muppi |
Ich hab jetzt für (a) folgendes gemacht:
zz. [mm] x^{2}+xy+y^{2}>0 [/mm] ->
[mm] x^{2}+y^{2}>-xy
[/mm]
[mm] (x+y)^{2}>0 [/mm] -> [mm] x^{2}+y^{2}>-2xy [/mm] (x [mm] \not= [/mm] y)
(1) -2xy [mm] \ge [/mm] 0 -> -xy [mm] \le [/mm] - 2xy ->
[mm] x^{2}+y^{2}>-2xy \ge [/mm] -xy ->
[mm] x^{2}+y^{2}>-xy
[/mm]
(2) -2xy<0 -> -xy<0 -> [mm] x^{2}+y^{2}>0>-xy [/mm] ->
[mm] x^{2}+y^{2}>-xy
[/mm]
also [mm] x^{2}+xy+y^{2}>0
[/mm]
[mm] (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})<0 [/mm] -> [mm] x^{3}-y^{3}<0 [/mm] ->
[mm] x^{3}
Ist es so richtig?
Kann man so was auch für (b) machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:46 Di 09.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Bei b hast du doch schon durch ausrechnen des quadrates
$ [mm] \varepsilon x^{2}+\bruch{1}{ \varepsilon} y^{2} \geq [/mm] 2xy$.
1. Fall [mm] xy\geq [/mm] 0. Dann ist stets [mm] $2xy\geq [/mm] xy$. Fertig.
2. Fall $xy<0$. Dann ist
[mm] $\varepsilon x^{2}+\bruch{1}{ \varepsilon} y^{2}\geq [/mm] 0 > xy$. Fertig.
Damit ist b gezeigt.
a.
zz ist [mm] $x^2+y^2+xy>0$ [/mm] für [mm] $xy\neq [/mm] 0$.
Es gilt [mm] $(x+y)^2\geq [/mm] 0$, also [mm] $x^2+2xy+y^2\geq [/mm] 0$, also
[mm] $x^2+y^2\geq [/mm] -2xy$. (Ich hoffe die Ähnlichkeit mit b ist klar...).
Und nun fast genau wie oben
1. Fall $xy<0$, dann $-2xy>-xy$, also [mm] $x^2+y^2>-xy$. [/mm] Fertig.
2. Fall. $xy> 0$, dann [mm] $x^2+y^2>0$ [/mm] und $0>-xy$, also auch zusammen fertig.
Also [mm] $x^2+y^2+xy>0$ [/mm] für [mm] $xy\neq [/mm] 0$.
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