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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 08.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo zusammen,
Ich habe ein Problem mit der folgenden Textstelle aus dem Buch "Analysis I" von Wolfgang Walter:
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1.4 Anordnungsaxiome: Es existiert eine Teilmenge P von [mm] \IR, [/mm] genannt "Menge der positiven Zahlen", mit folgenden Eigenschaften:
(A 10): Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Beziehungen a [mm] \in [/mm] P oder -a [mm] \in [/mm] P oder a=0
(A 11): Sind a und b aus P, so ist auch a+b aus P
(A 12): Sind a und b aus P, so ist auch ab aus P
Ist a [mm] \in [/mm] P ,so wird a "positiv", ist -a [mm] \in [/mm] P so wird a "negativ" genannt. Jede reelle Zahl ist also entweder positiv oder negativ oder gleich Null. Mit Hilfe von P lässt sich nun in der Menge der reellen Zahlen eine Kleiner-Relation definieren. Sind a, b reelle Zahlen und ist a-b [mm] \in [/mm] P, so schreiben wir a > b oder auch b < a (gelesen: "a grösser b", "b kleiner a"). Die Zahl a ist also positiv bzw. negativ, wenn a > 0 bzw. a < 0 gilt.
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Wenn a-b [mm] \in [/mm] P als a > b definiert ist, ist dann auch gleichzeitig a-b [mm] \in [/mm] N als a < b definiert, oder muss man dies aus dem vorliegenden Text ableiten?
Ist es richtig, dass -a [mm] \in [/mm] N ist, wenn a [mm] \in [/mm] P ist? (-(-a) muss ja dann gemäss Definition eine positive Zahl sein, und dies ist der Fall, da ja a = -(-a) gilt)
Vielen Dank für Eure Hilfe
Gruss
Gilles
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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Hallo,
nein, warum sollte den a-b aus den natürlichen Zahlen sein. Du hast doch in deiner Erläuterung selbst definiert (bzw. Prof. Walther), dass [mm] P\subseteq\IR [/mm] ist. Dem zu Folge sind a und b irgendwelche reelle Zahlen und müssen nicht natürlich sein. Außerdem kann doch a nicht kleiner b sein, da die natürlichen Zahlen doch nur positiv sind (evtl. noch 0).
Und wenn a eine positive Zahl ist, warum sollte dann -a eine natürliche sein. P ist doch die Menge der positiven reellen Zahlen. Ist deine Frage damit beantwortet?
Grüße mathmetzsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Antimon |
Hallöle
Ich glaub du interpretierst zu viel in die Definition...
mit a-b [mm] \in [/mm] P kannst du nicht gleich die Umkehrung annehmen wie du es getan hast... Aber wenn du das dann einfach betrachtest als b-a [mm] \in [/mm] P kannst du feststellen, dass b>a ist und demnach a-b [mm] \in [/mm] N ist. Du meinst doch mit N die Negativen Zahlen oder???
Also hoffe ich konnt helfen...
Grüße
Antimon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 08.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Ja genau, mit N meinte ich die Negativen Zahlen.
Eines ist mir noch nicht ganz klar: Wie kann man aus b > a schliessen, dass a-b eine negative Zahl ist?
Gruss
Gilles
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 08.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Eines ist mir noch nicht ganz klar: Wie kann man aus b > a
> schliessen, dass a-b eine negative Zahl ist?
Das ist quasi die Definition: b>a heisst [m]b-a\in P[/m], das heisst [m]a-b\in N[/m].
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Sa 08.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Vielen Dank, das hat mir weitergeholfen.
Gruss
Gilles
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Ach so, da muss ich mich wohl schnell korrigieren. Ich dachte N sind die natürlichen Zahlen, aber du meintest natürlich die negativen Zahlen.
Es werden doch hier Bedingungen definiert.
Wenn [mm] a-b\in [/mm] P dann ist a>b.
Wenn [mm] a-b\in [/mm] N dann ist a<b.
Bei deiner zweiten Frage kann man durchaus so schließen. P und N ergeben ja offensichtlich zusammen mit der Menge {0} die reellen Zahlen. P ist also soetwas wie das Gegenteil von N. Also ist das von einer Zahl [mm] a\in [/mm] P inverse Element -a natürlich in N.
Sorry für das kleine Versehen.
Grüße mathmetzsch
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