Regel von L'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 So 14.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob Sie bei der Berechnung von [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)} [/mm] die Regel von de lHospital anwenden können. Berechnen Sie den Grenzwert. |
Hallo,
ich meine, man könnte de l'Hospital anwenden, denn der oben angegebene Limes ist ja [mm] \bruch{0}{0} [/mm] wegen [mm] \bruch{0}{sin(0)}, [/mm] aber egal wie oft ich auch differenziere, ich komme nie auf einen vernünftigen Wert, wenn ich die Quotienten der jeweiligen Ableitungen berechne, denn immer wieder kommt ein cos oder sin vor. Kann ich nicht schon an [mm] x^2 [/mm] selber sehen, dass der Grenzwert 0 sein muss?
Denn [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(x^2...) [/mm] ergibt doch schon 0, oder?
Danke für die Hilfe, Gruß, Stefan.
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Hallo Stefan,
> Untersuchen Sie, ob Sie bei der Berechnung von
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)}[/mm]
> die Regel von de lHospital anwenden können. Berechnen Sie
> den Grenzwert.
> Hallo,
>
> ich meine, man könnte de l'Hospital anwenden, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") denn der oben
> angegebene Limes ist ja [mm]\bruch{0}{0}[/mm] wegen
> [mm]\bruch{0}{sin(0)},[/mm] aber egal wie oft ich auch
> differenziere,
nach der ersten Anwendung von de l'Hôpital komme ich auf [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos(x)}$
[/mm]
Und das ergibt keinen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Also sehe ich nicht, wie du ein zweites Mal de L'Hôpital anwenden willst ...
> ich komme nie auf einen vernünftigen Wert,
> wenn ich die Quotienten der jeweiligen Ableitungen
> berechne, denn immer wieder kommt ein cos oder sin vor.
> Kann ich nicht schon an [mm]x^2[/mm] selber sehen, dass der
> Grenzwert 0 sein muss?
> Denn [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(x^2...)[/mm] ergibt doch schon 0,
> oder?
Jo, ich würde es damit begründen, dass [mm] \text{Nullfolge}\cdot{}\text{beschränkte Folge} [/mm] eine [mm] \text{Nullfolge} [/mm] ergibt
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}x^2=0$ [/mm] und [mm] $\left|\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin(x)}\right|\le [/mm] 1$ für alle [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$
[/mm]
Also greift der obige Satz
>
> Danke für die Hilfe, Gruß, Stefan.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Mo 15.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo schachuzipus,
> nach der ersten Anwendung von de l'Hôpital komme ich auf
> [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos(x)}[/mm]
>
> Und das ergibt keinen unbestimmten Ausdruck der Form
> [mm]\frac{0}{0}[/mm] oder [mm]\pm\frac{\infty}{\infty}[/mm]
ok, das stimmt, das habe ich auch berechnet, aber ich dachte, mit diesem Ausdruck könnte man genauso wenig den Limes bestimmen wie mit der Ausgangsgleichung, denn ob ich nun [mm] x^2 [/mm] oder 2x als Grenzwert gegen 0 betrachte, es kommt ja in beiden Fällen der Limes = 0 heraus, wieso benötige ich dann noch l'Hospital? Ich bin immer davon ausgegangen, die Regel sei dann sinnvoll, wenn man etwas Eindeutiges mit einer Zahl Zähler im oder Nenner und einem Wert gegen [mm] \infty [/mm] oder 0 bekommt. Ist das also so nicht richtig?
Also muss ich argumentieren: l'Hospital ist anwendbar wegen obiger Begründung und bei der ersten Anwendung ist ersichtlich, dass der Limes gegen 0 geht?
Ich kann es noch nicht so richtig ablesen an der ersten Anwendung der Regel, muss ich ehrlich gestehen.
Danke für die Hilfe, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
wie schachuzipus schon schreiben, ist  de l'Hospital nur anwendbar bei folgenden Fällen aus unbestimmten Ausdrücken:
[mm] $$\bruch{0}{0} [/mm] \ \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \bruch{\infty}{\infty}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Mo 15.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Loddar,
> wie schachuzipus schon schreiben, ist
> de l'Hospital nur anwendbar bei
> folgenden Fällen aus unbestimmten Ausdrücken:
> [mm]\bruch{0}{0} \ \ \ \text{oder} \ \ \ \pm \ \bruch{\infty}{\infty}[/mm]
ja, aber er schreibt ja auch, dass es mit der zweiten Ableitung keinen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bzw. [mm] \bruch{\pm\infty}{\pm\infty} [/mm] gibt. Was kann ich nun daraus schließen? Kann ich l'Hospital nun anwenden oder nicht? Also wie es aussieht, dann doch nicht? Ich hab noch nicht so ganz den Durchblick, tut mir leid.
Danke schön, Gruß, Stefan.
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> ja, aber er schreibt ja auch, dass es mit der zweiten
> Ableitung keinen unbestimmten Ausdruck der Form
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] bzw. [mm]\bruch{\pm\infty}{\pm\infty}[/mm] gibt. Was
> kann ich nun daraus schließen?
Hallo,
nach dem Bilden der ersten Ableitungen hat man $ [mm] \lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos(x)} [/mm] $.
Im Nenner steht eindeutig 1, so daß sich jeglicher Gedanke an eine weitere Anwendung der Hospitalregel erübrigt.
Und nachdem man die Regel einmal angewendet hat, ist man so schlau wie zuvor, da $ [mm] \lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos(x)} [/mm] $ keinen Grenzwert hat.
> Kann ich l'Hospital nun
> anwenden oder nicht?
Nein.
> Also wie es aussieht, dann doch nicht?
> Ich hab noch nicht so ganz den Durchblick, tut mir leid.
Du kannst ihn Dir leichter verschaffen, wenn Du Dir anschaust, was die Sätze, Definitionen etc., die Du verwendest, genau aussagen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Mo 15.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> nach dem Bilden der ersten Ableitungen hat man
> [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos(x)} [/mm].
>
> Im Nenner steht eindeutig 1, so daß sich jeglicher Gedanke
> an eine weitere Anwendung der Hospitalregel erübrigt.
ja, natürlich, denn hier liegt dann nicht mehr ein unbestimmter Grenzwert vor, sondern der Grenzwert ist für den Nenner eindeutig bestimmbar, somit kann ich die Regel nicht nochmals anwenden, jetzt sehe ich es auch.
> Du kannst ihn Dir leichter verschaffen, wenn Du Dir
> anschaust, was die Sätze, Definitionen etc., die Du
> verwendest, genau aussagen.
ja, das habe ich nun nochmals getan.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:23 Mo 15.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\left|\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin(x)}\right|\le 1[/mm]
> für alle [mm]x\in\IR\setminus\{0\}[/mm]
Also der Ausdruck ist nicht definiert, wenn der Nenner 0 ist - und das kommt des öfteren vor. Selbst wenn man diese mit rausnimmt ist zB für Umgebungen von [m]\pi[/m] [m]cos(1/x)[/m] von 0 weg beschränkt, und der Nenner geht gegen 0. Also geht der Betrag des Ausdrucks gegen unenedlich.
SEcki
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:14 Do 08.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo schachuzipus
$ [mm] \left|\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin(x)}\right|\le [/mm] 1 $
ist falsch, da der Zähler zwar beschränkt ist, der Nenner aber gegen 0 geht. einfach mal x=0.001 einsetzen!
Das ganze konvergiert zwar immer noch gegen 0, weil sinx>x/2 für x<1.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] \bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)} [/mm] = f(x)g(x),
wobei f(x) = [mm] \bruch{x}{sinx} [/mm] und g(x) = x cos(1/x)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] = 0 und wegen|g(x)| [mm] \le [/mm] |x| ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0}g(x) [/mm] = 0
Der gesuchte Grenzwert ist also = 0.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mo 15.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Fred,
> [mm]\bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)}[/mm] = f(x)g(x),
>
> wobei f(x) = [mm]\bruch{x}{sinx}[/mm] und g(x) = x cos(1/x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] = 0 und wegen|g(x)| [mm]\le[/mm] |x| ist
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}g(x)[/mm] = 0
>
> Der gesuchte Grenzwert ist also = 0.
gut, wenn ich es so umschreibe, dann komme ich auch ohne l'Hospital weiter, aber kann ich l'Hospital nun anwenden oder nicht, offensichtlich nicht, aber wieso nicht? Denn es gibt doch einen Audruck mit [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bzw. [mm] \bruch{\pm\infty}{\pm\infty}, [/mm] oder? Also kann ich l'Hospital anwenden, aber selbst mit der Regel erhalte ich ja keinen bestimmten Grenzwert, oder?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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> Hallo Fred,
> > [mm]\bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)}[/mm] = f(x)g(x),
> >
> > wobei f(x) = [mm]\bruch{x}{sinx}[/mm] und g(x) = x cos(1/x)
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] = 0 und wegen|g(x)| [mm]\le[/mm] |x| ist
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}g(x)[/mm] = 0
> >
> > Der gesuchte Grenzwert ist also = 0.
> gut, wenn ich es so umschreibe, dann komme ich auch ohne
> l'Hospital weiter, aber kann ich l'Hospital nun anwenden
> oder nicht, offensichtlich nicht, aber wieso nicht?
Hallo,
Du kennst die Regel von l'Hospital nicht.
Lies sie Dir mal gründlich durch. Da steht nämlich ein bißchen mehr drin als "oben und unten ableiten".
Die regel sagt, daß wenn der Quotient der Ableitungen einen Grenzwert hat, dann ist das (unter den für den Satz gltenden Voraussetzungen) auch der Grenzwert des Quotienten der Funktionen.
Aber nirgendwo wird Dir versprochen, daß der Grenzwert der Ableitungen existiert.
Gruß v. Angela
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> Hallo Fred,
> > [mm]\bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)}[/mm] = f(x)g(x),
> >
> > wobei f(x) = [mm]\bruch{x}{sinx}[/mm] und g(x) = x cos(1/x)
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] = 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
--> Fred: dieser Limes ergibt nicht 0 , sondern 1
> > und wegen|g(x)| [mm]\le[/mm] |x| ist
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}g(x)[/mm] = 0
> >
> > Der gesuchte Grenzwert ist also = 0.
> gut, wenn ich es so umschreibe, dann komme ich auch ohne
> l'Hospital weiter, aber kann ich l'Hospital nun anwenden
> oder nicht, offensichtlich nicht, aber wieso nicht?
Hallo Stefan,
der gegebene Ausdruck erfüllt eine Voraussetzung
zur Anwendung der Regel von de l'Hospital, da
Zähler und Nenner den Grenzwert 0 haben.
Ableiten des Zählers und des Nenners führt auf
den Term
[mm] \bruch{2*x*cos(1/x)+sin(1/x)}{cos(x)}
[/mm]
dessen Zähler aber für [mm] x\to [/mm] 0 wegen dem Term sin(1/x)
keinen Grenzwert besitzt. Also führt die Anwendung
der Hospitalschen Regel nicht zum Ziel, was aber,
wie das Beispiel zeigt, offenbar nicht bedeutet,
dass der Grenzwert des gegebenen Ausdrucks nicht
existiert, da man diesen bestimmen kann, indem man
zuerst eine geeignete Faktorisierung vornimmt:
$\ [mm] f(x)=\bruch{x^2*cos(1/x)}{sin(x)}=\underbrace{x}_{\to 0}*\underbrace{\bruch{x}{sin(x)}}_{\to 1}*\underbrace{cos(1/x)}_{beschr.}\quad\to\ 0\qquad$ [/mm] für [mm] x\to [/mm] 0
Gruß al-Chw.
Gerade habe ich zum Thema noch diese Stelle gefunden:
![[]](/images/popup.gif) L'Hospital: Warnbeispiele
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Fred,
>
> > > [mm]\bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)}[/mm] = f(x)g(x),
> > >
> > > wobei f(x) = [mm]\bruch{x}{sinx}[/mm] und g(x) = x cos(1/x)
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] = 0
>
> --> Fred: dieser Limes ergibt nicht 0 , sondern 1
Hallo Al,
danke. Da hab ich mich vertippt. (Kann man im Nachhinein immer sagen)
FRED
>
>
> > > und wegen|g(x)| [mm]\le[/mm] |x| ist
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}g(x)[/mm] = 0
> > >
> > > Der gesuchte Grenzwert ist also = 0.
>
> > gut, wenn ich es so umschreibe, dann komme ich auch ohne
> > l'Hospital weiter, aber kann ich l'Hospital nun anwenden
> > oder nicht, offensichtlich nicht, aber wieso nicht?
>
>
> Hallo Stefan,
>
> der gegebene Ausdruck erfüllt die Voraussetzungen
> zur Anwendung der Regel von de l'Hospital. Ableiten
> des Zählers und des Nenners führt auf den Term
>
> [mm]\bruch{2*x*cos(1/x)+sin(1/x)}{cos(x)}[/mm]
>
> dessen Zähler aber für [mm]x\to[/mm] 0 wegen dem Term sin(1/x)
> keinen Grenzwert besitzt. Also führt die Anwendung
> der Hospitalschen Regel nicht zum Ziel, was aber,
> wie das Beispiel zeigt, offenbar nicht bedeutet,
> dass der Grenzwert des gegebenen Ausdrucks nicht
> existiert, da man diesen bestimmen kann, indem man
> zuerst eine geeignete Faktorisierung vornimmt:
>
> [mm]\ f(x)=\bruch{x^2*cos(1/x)}{sin(x)}=\underbrace{x}_{\to 0}*\underbrace{\bruch{x}{sin(x)}}_{\to 1}*\underbrace{cos(1/x)}_{beschr.}\quad\to\ 0\qquad[/mm]
> für [mm]x\to[/mm] 0
>
>
> Gruß al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Mo 15.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Al,
> Gerade habe ich zum Thema noch diese Stelle gefunden:
>
> L'Hospital: Warnbeispiele
Danke schön, das sind gute Beispiele, da muss man tatsächlich sehr aufpassen, nun bin ich sensibilisiert.
Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Do 08.01.2009 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Al,
> [mm]\ f(x)=\bruch{x^2*cos(1/x)}{sin(x)}=\underbrace{x}_{\to 0}*\underbrace{\bruch{x}{sin(x)}}_{\to 1}*\underbrace{cos(1/x)}_{beschr.}\quad\to\ 0\qquad[/mm]
> für [mm]x\to[/mm] 0
wie ist denn der Grenzwert von [mm] cos(\bruch{1}{x})? [/mm] Ich kann ja nicht einfach argumentieren, dass diese Funktion beschränkt ist, ohne zu sagen, warum? Wieso ist sie beschränkt? [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] ist es ja auch nicht, also nehme ich doch an, dass es [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] auch nicht ist, das verstehe ich jetzt doch nicht.
Danke schön, Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Do 08.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Die beiden Winkelfunktionen [mm] $\sin(...)$ [/mm] und [mm] $\cos(...)$ [/mm] nehmen doch nur Wert aus dem Intervall $-1 \ [mm] \le [/mm] \ y \ [mm] \le [/mm] \ +1$ an.
Daher sind diese beiden Funktionen auch beschränkt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Do 08.01.2009 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Loddar,
> Die beiden Winkelfunktionen [mm]\sin(...)[/mm] und [mm]\cos(...)[/mm] nehmen
> doch nur Wert aus dem Intervall [mm]-1 \ \le \ y \ \le \ +1[/mm]
> an.
>
> Daher sind diese beiden Funktionen auch beschränkt.
ja, ok, das verstehe ich schon, aber [mm] \limes_{x\rightarrow 0}sin(\bruch{1}{x}) [/mm] existiert nicht, das sollte ich in der ersten Aufgabe beweisen, dann existiert [mm] \limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x}) [/mm] ja auch nicht, denke ich mal. Ok, die Funktionen sind dennoch beschränkt, das ist richtig, aber ich soll ja [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)} [/mm] berechnen. Wie soll ich das machen, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x}) [/mm] nicht existiert? Oder reicht das Argument, dass [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] beschränkt ist aus, um den Grenzwert der gesamten Funktion zu berechnen?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Do 08.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Das Argument "beschränkt" reicht aus, da der Gesamtgrenzwert nun nicht mehr gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] ausreißen kann.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Loddar,
> > Die beiden Winkelfunktionen [mm]\sin(...)[/mm] und [mm]\cos(...)[/mm]
> nehmen
> > doch nur Wert aus dem Intervall [mm]-1 \ \le \ y \ \le \ +1[/mm]
> > an.
> >
> > Daher sind diese beiden Funktionen auch beschränkt.
> ja, ok, das verstehe ich schon, aber [mm]\limes_{x\rightarrow 0}sin(\bruch{1}{x})[/mm]
> existiert nicht, das sollte ich in der ersten Aufgabe
> beweisen, dann existiert [mm]\limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x})[/mm]
> ja auch nicht, denke ich mal. Ok, die Funktionen sind
> dennoch beschränkt, das ist richtig, aber ich soll ja
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)}[/mm]
> berechnen. Wie soll ich das machen, wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}cos(\bruch{1}{x})[/mm] nicht existiert?
Vor 24 Tagen habe ich Dir gezeigt, wie das geht !!
FRED
> Oder reicht das Argument, dass [mm]cos(\bruch{1}{x})[/mm] beschränkt
> ist aus, um den Grenzwert der gesamten Funktion zu
> berechnen?
>
> Vielen Dank, Gruß, Stefan.
>
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