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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] a)\lim_{x\to 0}\,\frac{6^x-3^x}{2x}=f(x) [/mm] |
Hallo, ich bins mal wieder.
Ich soll die o.g Aufgaben berechnen:
Die Funktion kann ich ja in Teilfunktionen gliedern und dann durch
[mm] \bruch{v'(x)}{u'(x)} [/mm] den Grenzwert berechnen.
Also für a),
[mm] f(x)=\bruch{u(v)}{v(x)}
[/mm]
a)
[mm] u'(x)=ln(6)*6^x-ln(3)*3^x
[/mm]
v'(x)=2
Das wären die Ableitungen der Teilfunktionen.
Da wir für den Differenzenquotienten vorraussetzen, dass [mm] \limes_{x\rightarrow{0}} [/mm] läuft, muss man also nun für x=0 einsetzen, oder?
Damit würde ich folgende Funktion erhalten:
[mm] \bruch{ln(6)*6^0-ln(3)*3^0}{2}=\bruch{ln(6)-ln(3)}{2}=f(x)\approx0.35
[/mm]
Öfters kann ich die Funktion nicht ableiten, sonst im Nenner eine 0 als konstante stehen würde und damit ein mathematisch nicht definierter Ausdruck entstehen würde.
Sehe ich das richtig so?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
das sieht doch gut aus.
> Berechnen Sie:
>
> [mm]a)\lim_{x\to 0}\,\frac{6^x-3^x}{2x}=f(x)[/mm]
> Hallo, ich bins
> mal wieder.
>
> Ich soll die o.g Aufgaben berechnen:
Plural? Ich sehe nur eine.
> Die Funktion kann ich ja in Teilfunktionen gliedern und
> dann durch
> [mm]\bruch{v'(x)}{u'(x)}[/mm] den Grenzwert berechnen.
Sofern l'Hospital überhaupt anwendbar ist und Du mit "Teilfunktionen" eine Zähler- und eine Nennerfunktion meinst, ja.
> Also für a),
> [mm]f(x)=\bruch{u(v)}{v(x)}[/mm]
>
> a)
> [mm]u'(x)=ln(6)*6^x-ln(3)*3^x[/mm]
> v'(x)=2
>
> Das wären die Ableitungen der Teilfunktionen.
Ja.
> Da wir für den Differenzenquotienten vorraussetzen, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow{0}}[/mm] läuft, muss man also nun für x=0
> einsetzen, oder?
Beim "voraus" muss ein "r" heraus, sonst macht es mir den Garaus. 
Und ansonsten ist das etwas schräg formuliert, Du meinst aber das Richtige.
> Damit würde ich folgende Funktion erhalten:
>
> [mm]\bruch{ln(6)*6^0-ln(3)*3^0}{2}=\bruch{ln(6)-ln(3)}{2}=f(x)\approx0.35[/mm]
Ups. Das ist keine Funktion. Es geht doch um den Grenzwert von f(x) für [mm] x\to{0}. [/mm] Bleib lieber bei der Limesschreibweise. Die Zahlen stimmen, und mir ist die Rundung zu grob. Der genaue Wert ist ja [mm] \tfrac{1}{2}\ln{2}.
[/mm]
> Öfters kann ich die Funktion nicht ableiten, sonst im
> Nenner eine 0 als konstante stehen würde und damit ein
> mathematisch nicht definierter Ausdruck entstehen würde.
>
> Sehe ich das richtig so?
Nein, richtig ist: Du darfst kein weiteres Mal ableiten, da die Vorbedingungen für die Anwendung von l'Hospital nicht weiter gegeben sind.
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Ah, viel besser...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antwort.
Bei der Benennung habe ich etwas Probleme, wobei mir das mit dem Grenzwert eigentlich hätte sofort auffallen müssen.
Ich werde hierzu noch 3 Aufgaben posten.
Viele Grüße und danke für die Kontrolle:
Ps: Auf die Lösung mit [mm] \bruch{1}{2}ln(2) [/mm] bin ich auch gekommen, jedoch solleten wir auf 2 Stellen nach dem Komma runden. :)
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