Regel von de l'Hospital < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] a)\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin{x}}
[/mm]
[mm] b)\lim_{x\to 0}\,\frac{3x}{e^{(2x)}-1}
[/mm]
[mm] c)\lim_{x\to 0}\,\frac{1-\cosh{(x)}}{x^2} [/mm] |
Hallo.
Die o.g Aufgaben habe ich berechnet und ich würde mich freuen, wenn ihr ein Auge drüber werfen könntet.
[mm] a)\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin{x}}
[/mm]
Den Bruch habe ich wieder in Nenne- und Zählerfunktion aufgeteilt und dann die Regel von de l'Hospital angewendet.
[mm] f(x)=e^x-e^{-x}-2x
[/mm]
g(x)x-sin(x)
[mm] f'(x)=e^x+e^{-x}-2
[/mm]
g(x)=1-sin(x)
[mm] \lim_{x\to 0}\,\bruch{e^x+e^{-x}-2}{1-{cos}{x}}=\bruch{0}{0}
[/mm]
Regel von de l'Hospital
[mm] f''(x)=e^x-e^{-x}
[/mm]
g''(x)=sin{x}
[mm] \lim_{x\to 0}\,\bruch{e^x-e^{-x}}{sin{x}}=\bruch{0}{0}
[/mm]
Regel von de'l Hospital
[mm] f'''(x)=e^x+e^{-x}
[/mm]
g'''(x)=-cos{x}
[mm] \lim_{x\to 0}\,\bruch{2}{-1}=-2
[/mm]
[mm] b)\lim_{x\to 0}\,\frac{3x}{e^{(2x)}-1}
[/mm]
Hier bin ich mir nicht wirklich sicher:
f'(x)=3
[mm] g'(x)=2*e^{2x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lim_{x\to 0}\,\bruch{3}{2*e^{2x}}=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] c)\lim_{x\to 0}\,\frac{1-\cosh{(x)}}{x^2}
[/mm]
f'(x)=-sinh{x}
g'{x}=2x
[mm] cosh{x}=\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})
[/mm]
[mm] (-cosh{x})'=-(\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x}))'=-\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})=-(sinh(x)) [/mm]
Ist diese Begründung so legitim?
Regel von de'l Hospital
[mm] \lim_{x\to 0}\,\bruch{sinh{x}{2x}}=0
[/mm]
f''(x)=-cosh{x}
g''(x)=2
Regel von de'l Hospital:
[mm] \lim_{x\to 0}\, \bruch{-cosh{x}}{2}=-2
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn ihr mal drüberschauen könntet und danke im Voraus :).
Viele Grüße
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Hallo Masseltof,
eröffne für neue Fragen bitte einen neuen thread!
> Berechnen Sie:
>
> [mm]a)\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin{x}}[/mm]
>
> [mm]b)\lim_{x\to 0}\,\frac{3x}{e^{(2x)}-1}[/mm]
> [mm]c)\lim_{x\to 0}\,\frac{1-\cosh{(x)}}{x^2}[/mm]
>
> Hallo.
>
> Die o.g Aufgaben habe ich berechnet und ich würde mich
> freuen, wenn ihr ein Auge drüber werfen könntet.
>
> [mm]a)\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin{x}}[/mm]
>
>
> Den Bruch habe ich wieder in Nenne- und Zählerfunktion
> aufgeteilt und dann die Regel von de l'Hospital
> angewendet.
>
> [mm]f(x)=e^x-e^{-x}-2x[/mm]
> g(x)x-sin(x)
>
> [mm]f'(x)=e^x+e^{-x}-2[/mm]
> g(x)=1-sin(x)
>
> [mm]\lim_{x\to 0}\,\bruch{e^x+e^{-x}-2}{1-{cos}{x}}=\bruch{0}{0}[/mm]
>
> Regel von de l'Hospital
>
> [mm]f''(x)=e^x-e^{-x}[/mm]
> g''(x)=sin{x}
>
> [mm]\lim_{x\to 0}\,\bruch{e^x-e^{-x}}{sin{x}}=\bruch{0}{0}[/mm]
>
> Regel von de'l Hospital
> [mm]f'''(x)=e^x+e^{-x}[/mm]
Bis hierher alle super!
> g'''(x)=-cos{x}
Nee, [mm]+\cos(x)[/mm]
>
> [mm]\lim_{x\to 0}\,\bruch{2}{-1}=-2[/mm]
Falsches Vorzeichen ...
>
> [mm]b)\lim_{x\to 0}\,\frac{3x}{e^{(2x)}-1}[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht wirklich sicher:
zu unrecht!
> f'(x)=3
> [mm]g'(x)=2*e^{2x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\lim_{x\to 0}\,\bruch{3}{2*e^{2x}}=\bruch{3}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> [mm]c)\lim_{x\to 0}\,\frac{1-\cosh{(x)}}{x^2}[/mm]
>
> f'(x)=-sinh{x}
> g'{x}=2x
>
> [mm]cosh{x}=\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})[/mm]
>
> [mm](-cosh{x})'=-(\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x}))'=-\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})=-(sinh(x))[/mm]
>
> Ist diese Begründung so legitim?
Jo!
>
> Regel von de'l Hospital
>
> [mm]\lim_{x\to 0}\,\bruch{sinh{x}{2x}}=0[/mm]
>
> f''(x)=-cosh{x}
> g''(x)=2
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") bis hierher!
>
> Regel von de'l Hospital:
>
> [mm]\lim_{x\to 0}\, \bruch{-cosh{x}}{2}[/mm]
[mm]=-2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du meinst wohl [mm]=-\frac{1}{2}[/mm]
>
> Ich würde mich freuen, wenn ihr mal drüberschauen
> könntet und danke im Voraus :).
Schon sehr gut, schreibe aber unbedingt strukturierter und sauberer auf!
>
> Viele Grüße
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Do 13.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Kontrolle.
Manchmal vertrippe ich mich beim Schreiben und dann entstehen leider Fehler^^.
Gut, dass ihr drüberschaut.
Grüße :=)
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Hallo nochmal und naja ...
> Hallo und danke für die Kontrolle.
> Manchmal vertrippe ich mich beim Schreiben und dann
> entstehen leider Fehler^^.
Genau dafür gibt es die Vorschaufunktion ...
> Gut, dass ihr drüberschaut.
Ja, ne? 
>
> Grüße :=)
Bis dann
schachuzipus
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