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| Aufgabe | Ist $ f: [0,1] $ $ [mm] \to \IR [/mm] $ mit
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für }x\mbox{>0} \\
0, & \mbox{für }x\mbox{=0}
\end{matrix}\right.
[/mm]
eine Regelfunktion? |
Guten Abend
der [mm] \limes_{x \to 0}f(x) [/mm] existiert ja nicht mal, da es nicht def. ist.
und somit kann f ja keine Regelfunktion sein?
Reicht es als Begründung oder? Das war eine alte Klausuraufgabe und für diesen einen Satz 4 punkte? ^^
oder hab ich was übersehen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Do 18.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist [mm]f: [0,1][/mm] [mm]\to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für }x\mbox{>0} \\
0, & \mbox{für }x\mbox{=0}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> eine Regelfunktion?
> Guten Abend
> der [mm]\limes_{x \to 0}f(x)[/mm] existiert ja nicht mal, da es
> nicht def. ist.
> und somit kann f ja keine Regelfunktion sein?
>
> Reicht es als Begründung oder? Das war eine alte
> Klausuraufgabe und für diesen einen Satz 4 punkte? ^^
>
> oder hab ich was übersehen?
damit ist [mm] $x_0$ [/mm] eine Unstetigkeitsstelle, die keine Sprungstelle ist. Die 4 Punkte
sind gerechtgertigt, wenn man auch beweist, dass dort keine Sprungstelle
vorliegt, also:
Beweise, dass [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] nicht existiert (es gäbe hier ja eh
nur einen rechtsseitigen Limes, deswegen muss ich das nicht anders
schreiben, wie etwa in [mm] $\lim_{0 < x \to 0}\sin(1/x)$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 18.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist [mm]f: [0,1][/mm] [mm]\to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für }x\mbox{>0} \\
0, & \mbox{für }x\mbox{=0}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> eine Regelfunktion?
> Guten Abend
> der [mm]\limes_{x \to 0}f(x)[/mm] existiert ja nicht mal, da es
> nicht def. ist.
da habe ich jetzt eben nicht aufgepasst:
Was meinst Du eigentlich mit "da es nicht definiert ist"? Was ist
es und wo soll das nicht definiert sein? Es kann nämlich sein,
dass Du da falsch denkst, das weiß ich aber erst, wenn Du mit klaren
Worten kommunizierst, erst dann kann ich es klar korrigieren!
Gruß,
Marcel
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danke erstmal für deine Antwort.
Ja ich glaube, ich habe ein Denkfehler
wenn ich den Grenzwert von $ [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] $ betrachte.
Und x gegen 0 laufen lasse, habe ich ja 1 durch 0 stehen und das ist ja nicht def.
Aber ich glaube das ist falsch gedacht.
Habe jetzt woanders gelesen, dass ich den links bzw. rechtsseitigen Grenzwert betrachten soll. Weiß zwar noch nicht wie der funktioniert, aber wäre das besser als meine Idee?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Do 18.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke erstmal für deine Antwort.
>
> Ja ich glaube, ich habe ein Denkfehler
>
> wenn ich den Grenzwert von [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] betrachte.
> Und x gegen 0 laufen lasse, habe ich ja 1 durch 0 stehen
> und das ist ja nicht def.
das ist falsch gedacht. Dass [mm] $\sin(1/0)$ [/mm] nicht definiert ist, ist okay, weil ja [mm] $1/0\,$ [/mm]
schon nicht definiert ist. Aber bei Deiner auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] definierten Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist
das für
[mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$
[/mm]
doch vollkommen egal, denn: [mm] $f(x)\,$ [/mm] ist definiert für jedes $x [mm] \in [0,1]\,.$ [/mm] Außerdem
gilt $x > 0$ [mm] $\Rightarrow$ $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] und $x=0$ [mm] $\Rightarrow$ $f(x)=f(0)=0\,.$
[/mm]
Dass man nicht [mm] $\lim_{x \to 0}\sin(1/x)=\sin(1/\lim_{x \to 0}x)$ [/mm] schreiben kann, interessiert dabei
an keiner Stelle!
Übrigens steckt in der Notation [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] zudem $x [mm] \not=0$ [/mm] und $x [mm] \in D_f$
[/mm]
mit drin (versteckt).
> Aber ich glaube das ist falsch gedacht.
> Habe jetzt woanders gelesen, dass ich den links bzw.
> rechtsseitigen Grenzwert betrachten soll.
Der linksseitige an der Stelle 0 ist hier unsinnig. Warum?
> Weiß zwar noch nicht wie der funktioniert, aber wäre das besser als
> meine Idee?
Eigentlich steckt in
[mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$
[/mm]
hier schon mit drin, dass Du den rechtsseitigen Grenzwert
[mm] $\lim_{\substack{0 < x \to 0\\x \in D_f}}f(x)$
[/mm]
betrachtest - das ist hier das Gleiche!
Tipp: Die Definition 10.4 von ![[]](/images/popup.gif) hier ist äquivalent
zu den gängigen anderen möglichen Definitionen.
Deswegen: Der rechtsseitige Grenzwert
[mm] $\lim_{x \to x_0^+}f(x)$
[/mm]
an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] fällt hier mit
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$
[/mm]
zusammen [mm] ($x_0=0$ [/mm] ist linker Randpunkt von [mm] $D_f=[0,1]$).
[/mm]
Letztstehender Grenzwert existiert nicht: Sei
[mm] $x^{(1)}_n:=\frac{1}{n*\pi}$
[/mm]
und
[mm] $x^{(2)}_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*2\pi}\,.$
[/mm]
Dann gilt [mm] $0\not= x^{(1)}_n \to [/mm] 0$ und $0 [mm] \not=x^{(2)}_n \to [/mm] 0$ und [mm] $x^{(j)}_n \in D_f=[0,1]$ [/mm] für alle
[mm] $n\,$ [/mm] (für $j=1,2$).
Wie geht's wohl weiter?
P.S. Du kannst alternativ auch direkt
[mm] $x_n=\frac{1}{n*\frac{\pi}{2}}$
[/mm]
betrachten! In diesem Falle wirst Du die Nichtexistenz von [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] dann damit
begründen können, dass die Folge [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] mehr als einen HP hat!
Gruß,
Marcel
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