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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion $f:[0, [mm] \bruch{\pi}{2}] \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x)$ mit
[mm] $f(x):=\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}$
[/mm]
eine Regelfunktion ist und berechnen Sie:
[mm] $\integral^{\bruch{\pi}{2}}_{0}{f(x)dx}.$ [/mm] |
Hier muss ich ja irgendwie mit einem links- und rechtsseitigen Grenzwert arbeiten, aber wie genau?
Vielen Dank
LG
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:[0, \bruch{\pi}{2}] \rightarrow \IR, x \mapsto f(x)[/mm]
> mit
> [mm]f(x):=\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
> eine Regelfunktion ist und berechnen Sie:
> [mm]\integral^{\bruch{\pi}{2}}_{0}{f(x)dx}.[/mm]
> Hier muss ich ja irgendwie mit einem links- und
> rechtsseitigen Grenzwert arbeiten, aber wie genau?
Ihr hattet mit Sicherheit folgenden
SATZ: Ist [a,b] ein kompaktes Intervall und f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig, so ist f eine Regelfunktion.
Wenn Du also zeigen kannst, dass die Reihe
[mm] $\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)} [/mm] $
auf :[0, [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] gleichmäßig konvergiert, ist f auf :[0, [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] stetig und damit eine Regelfunktion.
Tipp zur glm. Konvergenz: Majorantenkrit. von Weierstraß
[mm] http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/24_gleichmaessige_konvergenz_funktionenreihen.pdf
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank
>
> LG
> Dudi
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> > Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:[0, \bruch{\pi}{2}] \rightarrow \IR, x \mapsto f(x)[/mm]
> > mit
> > [mm]f(x):=\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
> > eine Regelfunktion ist und berechnen Sie:
> > [mm]\integral^{\bruch{\pi}{2}}_{0}{f(x)dx}.[/mm]
> > Hier muss ich ja irgendwie mit einem links- und
> > rechtsseitigen Grenzwert arbeiten, aber wie genau?
>
> Ihr hattet mit Sicherheit folgenden
>
> SATZ: Ist [a,b] ein kompaktes Intervall und f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm]
> stetig, so ist f eine Regelfunktion.
>
> Wenn Du also zeigen kannst, dass die Reihe
>
>
> [mm]\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
>
> auf :[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] gleichmäßig konvergiert, ist f
> auf :[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] stetig und damit eine
> Regelfunktion.
>
> Tipp zur glm. Konvergenz: Majorantenkrit. von Weierstraß
>
> [mm]http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/24_gleichmaessige_konvergenz_funktionenreihen.pdf[/mm]
>
Okay, also muss ich f nach oben abschätzen und eine größere konvergente Folge finden?!
Das Prinzip des Verfahrens ist mir durchaus bekannt, jedoch weiß ich nicht genau, wie ich abschätzen soll, dass es Sinn ergibt.
Vllt irritiert mich einfach der Sinus etwas!
LG
Dudi
> FRED
>
> >
> > Vielen Dank
> >
> > LG
> > Dudi
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:[0, \bruch{\pi}{2}] \rightarrow \IR, x \mapsto f(x)[/mm]
> > > mit
> > > [mm]f(x):=\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
> > > eine Regelfunktion ist und berechnen Sie:
> > > [mm]\integral^{\bruch{\pi}{2}}_{0}{f(x)dx}.[/mm]
> > > Hier muss ich ja irgendwie mit einem links- und
> > > rechtsseitigen Grenzwert arbeiten, aber wie genau?
> >
> > Ihr hattet mit Sicherheit folgenden
> >
> > SATZ: Ist [a,b] ein kompaktes Intervall und f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm]
> > stetig, so ist f eine Regelfunktion.
> >
> > Wenn Du also zeigen kannst, dass die Reihe
> >
> >
> > [mm]\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
> >
> > auf :[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] gleichmäßig konvergiert, ist f
> > auf :[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] stetig und damit eine
> > Regelfunktion.
> >
> > Tipp zur glm. Konvergenz: Majorantenkrit. von Weierstraß
> >
> >
> [mm]http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/24_gleichmaessige_konvergenz_funktionenreihen.pdf[/mm]
> >
>
> Okay, also muss ich f nach oben abschätzen und eine
> größere konvergente Folge finden?!
> Das Prinzip des Verfahrens ist mir durchaus bekannt,
> jedoch weiß ich nicht genau, wie ich abschätzen soll,
> dass es Sinn ergibt.
> Vllt irritiert mich einfach der Sinus etwas!
>
> LG
> Dudi
>
> > FRED
> >
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > LG
> > > Dudi
> >
>
[mm] |\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)| \le \bruch{2n+1}{n!} [/mm] für alle x und alle n und
[mm] \sum \bruch{2n+1}{n!} [/mm]
konvergiert
FRED
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> > > > Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:[0, \bruch{\pi}{2}] \rightarrow \IR, x \mapsto f(x)[/mm]
> > > > mit
> > > > [mm]f(x):=\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
> > > > eine Regelfunktion ist und berechnen Sie:
> > > > [mm]\integral^{\bruch{\pi}{2}}_{0}{f(x)dx}.[/mm]
> > > > Hier muss ich ja irgendwie mit einem links- und
> > > > rechtsseitigen Grenzwert arbeiten, aber wie genau?
> > >
> > > Ihr hattet mit Sicherheit folgenden
> > >
> > > SATZ: Ist [a,b] ein kompaktes Intervall und f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm]
> > > stetig, so ist f eine Regelfunktion.
> > >
> > > Wenn Du also zeigen kannst, dass die Reihe
> > >
> > >
> > > [mm]\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
> > >
> > > auf :[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] gleichmäßig konvergiert, ist f
> > > auf :[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] stetig und damit eine
> > > Regelfunktion.
> > >
> > > Tipp zur glm. Konvergenz: Majorantenkrit. von Weierstraß
> > >
> > >
> >
> [mm]http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/24_gleichmaessige_konvergenz_funktionenreihen.pdf[/mm]
> > >
> >
> > Okay, also muss ich f nach oben abschätzen und eine
> > größere konvergente Folge finden?!
> > Das Prinzip des Verfahrens ist mir durchaus bekannt,
> > jedoch weiß ich nicht genau, wie ich abschätzen soll,
> > dass es Sinn ergibt.
> > Vllt irritiert mich einfach der Sinus etwas!
> >
> > LG
> > Dudi
> >
> > > FRED
> > >
> > > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > LG
> > > > Dudi
> > >
> >
>
>
> [mm]|\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)| \le \bruch{2n+1}{n!}[/mm] für
> alle x und alle n und
>
> [mm]\sum \bruch{2n+1}{n!}[/mm]
Kann ich das dann zeigen mit:
[mm] $a_n:=\bruch{2n+1}{n!}$
[/mm]
Die Reihe konvergiert, wenn gilt:
[mm] $\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1$
[/mm]
[mm] $\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\bruch{|\bruch{2(n+1)+1}{(n+1)!}>}{|\bruch{2n+1}{n!}|}=\bruch{|(2n+3)n!|}{|n!(n+1)(2n+1)|}=\bruch{|2n+3|}{|2n^2+3n+1|}=|\bruch{1}{n+\bruch{1}{2n+3}}|$
[/mm]
Und da gilt [mm] $n\ge [/mm] 1$ gilt auch:
[mm] $2n+3\ge [/mm] 5$ und deshalb:
[mm] $|\bruch{1}{n+\bruch{1}{2n+3}}|<1$
[/mm]
Somit konvergiert die Reihe.
Ist das so zulässig? :)
Vielen Dank
LG
Dudi
>
>
>
> konvergiert
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:[0, \bruch{\pi}{2}] \rightarrow \IR, x \mapsto f(x)[/mm]
> > > > > mit
> > > > > [mm]f(x):=\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
> > > > > eine Regelfunktion ist und berechnen Sie:
> > > > > [mm]\integral^{\bruch{\pi}{2}}_{0}{f(x)dx}.[/mm]
> > > > > Hier muss ich ja irgendwie mit einem links-
> und
> > > > > rechtsseitigen Grenzwert arbeiten, aber wie genau?
> > > >
> > > > Ihr hattet mit Sicherheit folgenden
> > > >
> > > > SATZ: Ist [a,b] ein kompaktes Intervall und f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm]
> > > > stetig, so ist f eine Regelfunktion.
> > > >
> > > > Wenn Du also zeigen kannst, dass die Reihe
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\summe^{\infty}_{n=1}{\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)}[/mm]
> > > >
> > > > auf :[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] gleichmäßig konvergiert, ist f
> > > > auf :[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] stetig und damit eine
> > > > Regelfunktion.
> > > >
> > > > Tipp zur glm. Konvergenz: Majorantenkrit. von Weierstraß
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/24_gleichmaessige_konvergenz_funktionenreihen.pdf[/mm]
> > > >
> > >
> > > Okay, also muss ich f nach oben abschätzen und eine
> > > größere konvergente Folge finden?!
> > > Das Prinzip des Verfahrens ist mir durchaus bekannt,
> > > jedoch weiß ich nicht genau, wie ich abschätzen soll,
> > > dass es Sinn ergibt.
> > > Vllt irritiert mich einfach der Sinus etwas!
> > >
> > > LG
> > > Dudi
> > >
> > > > FRED
> > > >
> > > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > > >
> > > > > LG
> > > > > Dudi
> > > >
> > >
> >
> >
> > [mm]|\bruch{2n+1}{n!}sin((2n+1)x)| \le \bruch{2n+1}{n!}[/mm] für
> > alle x und alle n und
> >
> > [mm]\sum \bruch{2n+1}{n!}[/mm]
>
> Kann ich das dann zeigen mit:
>
> [mm]a_n:=\bruch{2n+1}{n!}[/mm]
>
> Die Reihe konvergiert, wenn gilt:
>
> [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1[/mm]
Das reicht nicht ! Schau Dir das Quotientenkrit. nochmal an !
>
> [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\bruch{|\bruch{2(n+1)+1}{(n+1)!}>}{|\bruch{2n+1}{n!}|}=\bruch{|(2n+3)n!|}{|n!(n+1)(2n+1)|}=\bruch{|2n+3|}{|2n^2+3n+1|}=|\bruch{1}{n+\bruch{1}{2n+3}}|[/mm]
> Und da gilt [mm]n\ge 1[/mm] gilt auch:
> [mm]2n+3\ge 5[/mm] und deshalb:
> [mm]|\bruch{1}{n+\bruch{1}{2n+3}}|<1[/mm]
> Somit konvergiert die Reihe.
>
> Ist das so zulässig? :)
Nein, aber siehst Du denn nicht, dass gilt: [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} \to [/mm] 0 ??
FRED
>
> Vielen Dank
>
> LG
> Dudi
>
>
> >
> >
> >
> > konvergiert
> >
> > FRED
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