Regeln von de Morgan < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Di 23.06.2009 | | Autor: | notinX |
Folgende Gleichung ist zu beweisen:
[mm] $S\textbackslash(A\cup B)=(S\textbackslash A)\cap(S\textbackslash [/mm] B)$
Dann fang ich mal an:
[mm] $x\in S\textbackslash(A\cup B)\Rightarrow x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin (A\cup [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] S [mm] \wedge(x\notin [/mm] A [mm] \vee x\notin [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow (x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin [/mm] A) [mm] \vee (x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in S\textbackslash [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] S [mm] \textbackslash [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow (S\textbackslash A)\cup (S\textbackslash [/mm] B)$
Das stimmt offensichtlich nicht, aber wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 23.06.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der Fehler ist in der 2. Zeile.
Hier muss das [mm] \vee [/mm] ein [mm] \wedge [/mm] sein.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Di 23.06.2009 | | Autor: | notinX |
hmm...
Aber [mm] $x\in (A\cup [/mm] B)$ ist doch äquivalent zu [mm] $x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] B$ oder? Ist das dann für die Negation umgekehrt?
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Hallo [mm] $\notin [/mm] X$
> hmm...
> Aber [mm]x\in (A\cup B)[/mm] ist doch äquivalent zu [mm]x\in A \vee x\in B[/mm] oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da steht aber [mm] $x\red{\notin}(A\cup [/mm] B)$
> Ist das dann für die Negation umgekehrt?
Ja, das sind gerade die de Morganschen Regeln ...
[mm] $\neg (x\in A\vee x\in B)\gdw x\notin A\wedge x\notin [/mm] B$
In Logikschreibweise: [mm] $\overline{(p\vee q)}\equiv \overline{p}\wedge\overline{q}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 24.06.2009 | | Autor: | notinX |
Wie sieht es dann hier aus:
z.z.:$ [mm] S\textbackslash(A\cap B)=(S\textbackslash A)\cup(S\textbackslash [/mm] B) $
Bew:
[mm] $x\in S\textbackslash(A\cap B)=x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin (A\cap [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin (A\cap [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] S [mm] \wedge (x\notin [/mm] A [mm] \vee x\notin [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow S\textbackslash [/mm] A [mm] \cup S\textbackslash [/mm] B$
Stimmt das?
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Hallo nochmal,
> Wie sieht es dann hier aus:
> z.z.:[mm] S\textbackslash(A\cap B)=(S\textbackslash A)\cup(S\textbackslash B)[/mm]
>
> Bew:
> [mm] $x\in S\textbackslash(A\cap B)\red{\gdw}x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin (A\cap [/mm] B)$
Das "=" ist oberfalsch 
>
> [mm]\Rightarrow x\in S \wedge x\notin (A\cap B)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in S \wedge (x\notin A \vee x\notin B)[/mm]
>
> [mm] $\Rightarrow \red{(}x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin A\red{)} \vee \red{(}x\in [/mm] S [mm] \wedge x\notin B\red{)}$
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow S\textbackslash A \cup S\textbackslash B[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja, mache überall Äquivalenzpfeile, dann bist du fertig, anderenfalls musst du noch die Richtung [mm] $(S\setminus [/mm] A) \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] (S\setminus [/mm] B) \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] S\setminus(A\cap [/mm] B)$ zeigen ...
LG
schachuzipus
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