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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Finde die folgenden Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-cosx}{x}
[/mm]
b)......
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Hallo,
meine Frage zu a) :
unten beim limes steht , dass x gegen 0 geht. Ich denke hier kann man Fallunterscheidung machen, wie x gegen 0 geht:
1) x ist negativ
2) x ist positiv
3) x =0
4) (optional) x ist negativ oder positiv wie z.B [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] ( ich denke, dass dieser Fall für die Aufgabe nicht rellevant ist).
Die allgemeine Frage wäre: wie ist hier genau x [mm] \to [/mm] 0 definiert? In Analysis 1 von Otto Forster habe ich nur die Definition von [mm] x_{n} \to [/mm] x:(=0) gefunden. Ausserdem , wenn es dabei um eine Folge [mm] x_{n} [/mm] geht, die gegen 0 strebt, könnte [mm] x_{n}=0 [/mm] sein . (ist dasselbe wie x=0 : x [mm] \to [/mm] 0?)
Jedoch für x =0 ist die Funktion nicht definiert.
Ich habe versucht , die Aufgabe so zu lösen:
(i) x kommt vom Negativen näher zu Null , dann [mm] \bruch{1-cosx}{x}=1-cos(z.B-0,0000000000...........1 [/mm] )= 0,00000000000..........1/ -0,000000000001=-1
(ii) für x kommt vom Positiven zu Null ist der Wert des limes gleich 1. Der Ausdruck hätte also zwei verschiedene Werte {-1,1}, was bedeutet, dass kein Grenzwert existiert. Ich habe also zuerst rein intuitiv die Aufgabe angegangen. Natürlich mit den Regeln von de l'Hospital wäre es ein bisschen anders.
Mein Verständnisproblem liegt bei der Definition vom Ausdruck x [mm] \to [/mm] 0 und welcher Unterschied zwischen [mm] x_{n} \to [/mm] 0 und x [mm] \to [/mm] 0.
Schöne Grüße
Igor
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Hallo Igor,
das passt aber irgendwie nicht:
egal, ob du dich von rechts oder von links an 0 heranpirschst, kommt [mm] \cos(x) [/mm] doch in beiden Fällen der [mm] \red{1} [/mm] beliebig nahe, und damit strebt [mm] 1-\cos(x) [/mm] in beiden Fällen gegen 0
Und das x im Zähler strebt auch gegen Null
Du hast also sowohl für den linksseitigen als auch für den rechtsseitigen Grenzwert für [mm] x\to [/mm] 0 den [mm] \text{\underline{unbestimmten}} [/mm] Ausdruck [mm] \frac{0}{0}
[/mm]
Du hast ja in deinem post schon die Regel von Meister de l'Hospital erwähnt.
Die führt hier sehr schnell zum Ziel (GW 0)
Eine andere Möglichkeit, die mir noch zusätzlich einfällt, wäre es, die Reihendefinition von [mm] \cos [/mm] zu verwenden und dann zu versuchen, das umzuformen.
Aber de l'Hospital ist mit Sicherheit die eleganteste und schnellste Möglichkeit hier...
dh. also: deine Funktion [mm] f(x)=\frac{1-\cos(x)}{x} [/mm] ist zwar in x=0 nicht definiert, lässt sich aber stetig fortsetzen durch die Festlegung f(0):=0
Das mit dem [mm] x_n\to [/mm] 0 ist das FOLGENKRITERIUM der Stetigkeit.
Hier muss für die Stetigkeit einer Funktion f an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] gelten, dass für [mm] \underline{jede} [/mm] Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] \lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0 [/mm] auch gefälligst gilt, dass [mm] \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0) [/mm] ist
Konkret müsstest du also schauen, ob für eine [mm] \underline{beliebige} [/mm] (mit anderen Worten ob für JEDE) Nullfolge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] auch gilt [mm] f(x_n)\to [/mm] f(0)=0 (nach unserer (stetigen) Forstestzung der Funktion/Festlegung oben) für [mm] n\to\infty
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 29.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Finde die folgenden Grenzwerte:
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-cosx}{x^{2}} [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht, hier die Regel von de l´Hospital anzuwenden:
dazu habe ich zuerst definiert:
f(x)=1-cosx f'(x)= sinx
[mm] g(x)=x^{2} [/mm] g´(x)= 2x ,
mit der Bedingung, dass g´(x) =0 für alle x [mm] \in [/mm] I (Definitionsbereich).
Ich habe das so verstanden: da 0 nicht im Definitionsbereich liegt (stimmt?)
ist g´(x) ungleich 0. also ist der Grenwert für x [mm] \to [/mm] 0 wäre dann [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{(1-cosx) '}{(x^{2})'}=0
[/mm]
Ich bitte um eine Korrektur
Schöne Grüße
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 29.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Loddar,
danke für die Antwort !
es war Tippfehler , natürlich g`(x) ungleich Null für alle x aus I
Sorry
Schöne Grüße
Igor
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de l'Hospital