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| Aufgabe | Berechne mithilfe von der 2. Regel von de l'Hospital folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x \to \infty} x^2 [/mm] * [mm] \sin\bruch{1}{x^2}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x \to \infty} x^n [/mm] * [mm] \sin\bruch{1}{x^n} [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] |
Hallo Leute,
also bei Aufgabe a) und b) muss man den Term doch umschreiben, da nicht dividiert wird, richtig? Denn sonst kann man ja nicht die Regeln von de l'Hospital anwenden.
Wie schreibt man das bei a) so um das man einen Quotienten enthält?
Danke euch.
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Fr 11.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechne mithilfe von der 2. Regel von de l'Hospital
> folgende Grenzwerte:
>
> a) [mm]\limes_{n \to \infty} x^2[/mm] * [mm]\sin\bruch{1}{x^2}[/mm]
Du meinst wahrscheinlich:
[mm] $\lim_{{\color{red}x}\to\infty}x^{2}\sin\frac{1}{x^{2}}$
[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n \to \infty} x^n[/mm] * [mm]\sin\bruch{1}{x^n}[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> also bei Aufgabe a) und b) muss man den Term doch
> umschreiben, da nicht dividiert wird, richtig? Denn sonst
Genau.
> kann man ja nicht die Regeln von de l'Hospital anwenden.
> Wie schreibt man das bei a) so um das man einen Quotienten
> enthält?
[mm] $x^{2}=\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}$
[/mm]
>
> Danke euch.
>
> Steffi
Gruß,
notinX
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Ja, tut mir Leid! Hab's korrigiert. Danke dir.
Also man könnte ja auch schreiben:
[mm] \bruch{1}{x^{-2}}
[/mm]
Bei [mm] \limes_{x \to \infty} \bruch{x^2}{\bruch{1}{\sin\bruch{1}{x^2}}} [/mm] geht sowas doch nicht, oder? Es gibt ja keinen Exponenten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Fr 11.02.2011 | | Autor: | notinX |
> Ja, tut mir Leid! Hab's korrigiert. Danke dir.
>
> Also man könnte ja auch schreiben:
> [mm]\bruch{1}{x^{-2}}[/mm]
>
> Bei [mm]\limes_{x \to \infty} \bruch{x^2}{\bruch{1}{\sin\bruch{1}{x^2}}}[/mm]
So wird das komplizierter als nötig. Ich würde es so versuchen:
[mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$
[/mm]
> geht sowas doch nicht, oder? Es gibt ja keinen Exponenten.
wofür brauchst Du einen Exponent?
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Ok, das geht auch. Dann verfahre ich mal so weiter:
[mm] \lim_{x\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{x^{2}}}{{x^{-2}}}
[/mm]
Dann die Regeln von de l'Hospital anwenden und die Ableitungen bilden:
[mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{cos\bruch{1}{x^2}}{-2x^{-3}}
[/mm]
Wie lange müsste ich die Ableitungen bilden? Kommt man überhaupt zu einem Ende?
Das ganze strebt doch gegen unendlich, weil der Zähler schneller steigt als der Nenner.
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Hallo,
> Ok, das geht auch. Dann verfahre ich mal so weiter:
>
> [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{x^{2}}}{{x^{-2}}}[/mm]
>
> Dann die Regeln von de l'Hospital anwenden und die
> Ableitungen bilden:
>
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{cos\bruch{1}{x^2}}{-2x^{-3}}[/mm]
Na, stimmt das denn?
Du musst Zähler und Nenner getrennt ableiten!
Z: [mm]\frac{d}{dx}\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)=\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\cdot{}(-2)\cdot{}x^{-3}[/mm]
N: [mm]\frac{d}{dx}x^{-2}=-2\cdot{}x^{-3}[/mm]
Zusammengesetzt ergibt sich doch [mm]\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)[/mm]
Und was treibt das für [mm]x\to\infty[/mm] ?
>
> Wie lange müsste ich die Ableitungen bilden? Kommt man
> überhaupt zu einem Ende?
> Das ganze strebt doch gegen unendlich, weil der Zähler
> schneller steigt als der Nenner.
Gruß
schachuzipus
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Hi, danke für die Antwort.
Man musste also die Kettenregel anwenden, was ich nicht beachtet habe.
Also beträgt der Grenzwert 1?
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Hallo nochmal,
> Hi, danke für die Antwort.
> Man musste also die Kettenregel anwenden, was ich nicht
> beachtet habe.
Ja, kann passieren 
>
> Also beträgt der Grenzwert 1?
Genau!
Gruß
schachuzipus
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Danke, schachuzipus!
Also muss man was bei der b) Aufgabe beachten? Schließlich ist n ein Element von alle natürlichen Zahlen.
Es ist doch nicht das gleiche wie bei a, oder? Der Exponent hat ja nur natürliche Zahlen.
Hab die Regel von de l'Hospital angewendet und folgendes herausbekommen:
[mm] \cos\bruch{1}{x^n}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Danke, schachuzipus!
>
> Also muss man was bei der b) Aufgabe beachten? Schließlich
> ist n ein Element von alle natürlichen Zahlen.
> Es ist doch nicht das gleiche wie bei a, oder? Der
> Exponent hat ja nur natürliche Zahlen.
>
> Hab die Regel von de l'Hospital angewendet
Hast du dich davon überzeugt, dass die Vor. für die Anwednung der Regel von de l'Hôpital erfüllt sind?
> und folgendes
> herausbekommen:
> [mm]\cos\bruch{1}{x^n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und was sagt dir das nun im Hinblick auf die Aufgabenstellung?
Kleine Ergänzung, falls es dich interessiert ...
Wenn du mal [mm]z=\frac{1}{x^n}[/mm] (bzw. in (a) [mm]z=\frac{1}{x^2}[/mm]) setzt, hast du jeweils
[mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)-\sin(0)}{z-0}=\ldots[/mm]
Und das kennst du sicher ...
Gruß
schachuzipus
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Der Grenzwertbereich beträgt 0?
Hmm, was willst du mir genau mit dieser Ergänzung sagen? Ich kenne das nur insofern, wenn du die Regel von de l'Hospital beweisen möchtest.
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Hallo nochmal,
> Der Grenzwertbereich beträgt 0?
Hmm, ich weiß, was du meinst, aber da steht Kokolores ...
Wenn [mm]x\to \infty[/mm], so geht auch [mm]x^2, x^n\to\infty[/mm]
Also geht [mm]z=\frac{1}{x^2}[/mm] bzw. [mm]z=\frac{1}{x^n}[/mm] doch gegen [mm]\frac{1}{\infty}=0[/mm]
Du kannst also [mm]\lim\limits_{x\to\infty}[/mm] von dem ursprünglichen Term berechnen oder
[mm]\lim\limits_{z\to 0}[/mm] von dem substituierten Term.
>
> Hmm, was willst du mir genau mit dieser Ergänzung sagen?
> Ich kenne das nur insofern, wenn du die Regel von de
> l'Hospital beweisen möchtest.
Nein, ich wollte dir eine (elegante) Alternative zu de l'Hôpital aufzeigen.
Es ist doch [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)-\sin(0)}{z-0}[/mm] der Limes des Differenzenquotienten von [mm]f(z)=\sin(z)[/mm] für [mm]z\to z_0=0[/mm]
Das ist (im Falle der Existenz dieses GW) doch [mm]f'(z_0)[/mm], also [mm]\cos(0)=1[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Huhu,
danke für die Antwort. Also beträgt der Grenzwert 1?
lg Steffi
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Hallo nochmal,
> Huhu,
> danke für die Antwort. Also beträgt der Grenzwert 1?
Da, [mm] $\cos(0)=1$
[/mm]
>
> lg Steffi
Gruß
schachuzipus
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Danke, aber wenn man es mit dem [mm] \lim_{x\to\infty} [/mm] berechnen müsste, müsste das ja auch so sein, richtig?
[mm] \lim_{x\to\infty} \cos\bruch{1}{x^n} [/mm] = 1
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Hallo Steffi2012,
> Danke, aber wenn man es mit dem [mm]\lim_{x\to\infty}[/mm] berechnen
> müsste, müsste das ja auch so sein, richtig?
>
> [mm]\lim_{x\to\infty} \cos\bruch{1}{x^n}[/mm] = 1
Ja.
Gruss
MathePower
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