Regen - Zeit - Kippen < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:06 So 14.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
| Aufgabe | Ein quaderförmiges Fass mit einer quadratischen Grundfläche von 1 Meter mal 1 Meter und einer Höhe von 2 Meter wird entlang einer Kante gekippt. Senkrecht von oben regnet es 1 Kubikmeter Wasser pro Stunde auf 1 Quadratmeter.
Frage 1)
Nach welcher Zeit ist das Fass voll und wie viel Kubikmeter Wasser sind drin, wenn man es kippt
a) um 0°
b) um 30°
c) um 63,435°
d) um 80°
Frage 2):
Um wie viel Grad muss man das Fass kippen, damit es in kürzest möglicher Zeit so weit gefüllt ist, dass kein weiteres Wasser mehr rein geht?
[Dateianhang nicht öffentlich]
|
Mit Strahlensätzen, Trigonometrie (Sinus, Kosinus, Tangens), Flächen- und Volumenberechnung und Zeitumrechung (Stunden in Minuten und Sekunden) bin ich in mühevoller Kleinarbeit folgende zu Ergebnissen gekommen:
1a) Bei Kippen um 0° sind nach genau 2 Stunden 2 Kubikmeter Wasser im Fass
1b) Bei Kippen um 30° sind nach 1 Stunde 58 Minuten und 33 Sekunden etwa 1.711 Kubikmeter Wasser im Fass
1c) Bei Kippen um 63.435° ist nach 2 Stunden 14 Minuten und 10 Sekunden genau 1 Kubikmeter Wasser im Fass
1d) Bei Kippen um 80° sind nach 2 Stunden 2 Minuten und 2 Sekunden etwa 0.3526 Kubikmeter Wasser im Fass
Zu 2)
Wenn man sich die Ergebnisse aus Frage 1) ansieht, so fällt auf:
Je stärker man das Fass kippt, um so weniger Wasser geht da rein. Das ist einleuchtend.
Interessant ist jedoch die Sache mit der Zeit:
Irgendwo zwischen 30° und sagen wir 60° muss ein Zeit-Minimum sein.
Ebenso scheint es ein Zeit-Maximum zu geben (zumindest ein lokales).
Und was ist wenn sich der Kipp-Winkel der 90°-Marke nähert?
Strebt dann die Zeit gegen UNENDLICH, weil kaum Wasser oben ins Fass rein kommt?
Oder strebt sie gegen NULL, weil fast kein Wasser ins Fass passt, so dass es in Null-Komma-Nichts voll ist?
Oder tendiert die Zeit gegen 2 Stunden so wie die meisten anderen ermittelten Zeiten?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Ich will hier mal am Beispiel der Drehung um 30° zeigen, wie viele Einzel-Strecken zu bestimmen waren, um an das Endergebnis zu kommen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gibt es eventuell einen einfacheren Weg ??
P.S.
Die ganze Technik ist ziemlich durcheinander geraten, weil zuerst das Bild fehlte. Und jetzt fehlt die Erläuterung.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo!
Du musst in Abhängigkeit von Winkel [mm] \alpha [/mm] eine Volumenfunktion für das Fass bestimmen (d.h. wieviel Wasser kann das Fass dann aufnehmen), sowie eine "Oeffnungsfunktion", die in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] angibt, wie groß oben die Öffnung ist, wo das Wasser reinlaufen kann.
Dazu führe deine 30° - Berechnung einfach mal durch, ohne den Winkel [mm] \alpha [/mm] explizit einzusetzen.
Entsprechend den beiden Funktionen, welche du erhältst, kannst du dann eine Zeitfunktion aufstellen, welche für irgendein [mm] \alpha [/mm] sicher minimal wird.
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Mo 15.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Du musst in Abhängigkeit von Winkel [mm]\alpha[/mm] eine
> Volumenfunktion sowie eine
> "Oeffnungsfunktion" für das Fass bestimmen
>
> Entsprechend den beiden Funktionen, welche du erhältst,
> kannst du dann eine Zeitfunktion aufstellen, welche für
> irgendein [mm]\alpha[/mm] sicher minimal wird.
Genau so hatte ich das ja auch gedacht.
An den vielen "Zwischen-Größen" sieht man allerdings, wie viele Funktionen da ineinander greifen.
Deshalb befürchte ich, dass - wie meistens bei "meinen" Aufgaben - die Formel zu kompliziert wird, und eine Ableitung (zwecks Bestimmung des Minimums) nicht zu bilden sein wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mo 15.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh mal meine Zeichnung an. V das regenvolumen (braun)
A die beregnete Flaeche blau
rot die Hoehe des fehlenden Dreiecks.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mo 15.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Hey, das ist ja genial. Das hätte ich nie gedacht, dass die Formel letztendlich so "einfach" ausfällt.
Dann wäre die Formel für die Zeit (t in Stunden) also:
[mm] t=\bruch{2-\bruch{tan \alpha}{2}}{cos \alpha}
[/mm]
Die obige Formel gilt aber wohl nur für das Viereck. Sonst würde bei [mm] \alpha [/mm] gegen 90° ein unendlich großer Wert für die Zeit raus kommen.
Wie ist das, wenn die "Wasserfigur" ein Dreieck ist; also bei [mm] \alpha [/mm] gegen 90° ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, [mm] \alpha=90^{0} [/mm] bedeutet doch, der Quader ist vollständig gekippt, die Zeit geht gegen unendlich, praktisch kommt KEIN Wasser rein, Steffi
|
|
|
| |
|
Für einen Kippwinkel [mm] \alpha [/mm] ist das maximale Wasservolumen
(in [mm] m^3) [/mm] im Fass
$\ [mm] V(\alpha)=\begin{cases} 2-\bruch{tan(\alpha)}{2} & \mbox{falls }\alpha\le arctan(2) \\ \bruch{2}{tan(\alpha)} & \mbox{falls }\alpha\ge arctan(2)\end{cases}$
[/mm]
Die Regeneinlassöffnung hat (horizontal gemessen) den
Flächeninhalt (in [mm] m^2)\qquad F(\alpha)=cos(\alpha).
[/mm]
Die Füllzeit (in h) ist demnach
$\ [mm] T(\alpha)=\bruch{V(\alpha)}{F(\alpha)}*\bruch{1\,h}{m}=\begin{cases}\bruch{2}{cos(\alpha)}-\bruch{sin(\alpha)}{2*cos^2(\alpha)}&\mbox{falls }\alpha\le arctan(2) \\ \bruch{2}{sin(\alpha)} & \mbox{falls }\alpha\ge arctan(2)\end{cases}$
[/mm]
Mit liebem Gruß
Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Mo 15.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Vielen Dank für die Formeln.
Nun soll ja noch die minimale Zeit bestimmt werden.
Hoffentlich habe ich mich dabei nicht verrechnet.
Offenbar liegt das Minimum in dem "Kleiner-Als" Bereich.
Als erste Ableitung und die NULL gesetzt habe ich dann raus:
tan ( [mm] \alpha [/mm] ) = 0.5
Dann ist [mm] \alpha [/mm] = 26.565°
Und die minimale Zeit wäre dann 1 Stunde 57 Minuten und 24 Sekunden
Eine MAXIMALE Zeit muss es offenbar auch noch geben.
Und beim Kippen um FAST 90° tendiert die Zeit gegen 2 Stunden (also genau so wie bei 0° d.h. ohne Kippen).
Das finde ich interessant: Es dauert genau so lange, 2 Kubikmeter Wasser reinregnen zu lassen, als wenn beim Kippen um 89.9° nur wenige Tropfen rein kommen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:23 Di 16.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Offenbar liegt das Minimum in dem "Kleiner-Als" Bereich.
> Als erste Ableitung und die NULL gesetzt habe ich dann
> raus:
>
> tan ( [mm]\alpha[/mm] ) = 0.5
Dieses Ergebnis ist völliger Quatsch.
Obwohl man bestimmt die erste Ableitung der "Kleiner-Als"-Formel bilden kann und dann NULL setzen kann.
Mit Hilfe der experimentellen Mathematik (probiere so lange, bis was Sinnvolles rauskommt) habe ich dann gefunden:
Minimale Zeit ist bei [mm] \alpha \approx [/mm] 16.3° - Zeit [mm] \approx [/mm] 1 Std 56 Min
Maximale Zeit ist bei [mm] \alpha \approx [/mm] 59.7° - Zeit [mm] \approx [/mm] 2 Std 16 Min
Boah. Das war ein langer Weg. Aber mehr wollte ich eigentlich gar nicht wissen.
Warum denke ich mir immer Aufgaben aus, die ich selber nicht lösen kann?
Oder besser gefragt: Warum kann ich die Aufgaben nicht selber lösen, die ich mir ausdenke? ?
|
|
|
| |
|
> > Offenbar liegt das Minimum in dem "Kleiner-Als" Bereich.
>
> Mit Hilfe der experimentellen Mathematik (probiere so
> lange, bis was Sinnvolles rauskommt) habe ich dann
> gefunden:
>
> Minimale Zeit ist bei [mm]\alpha \approx[/mm] 16.3° : Zeit [mm]\approx[/mm] 1 Std 56 Min
>
> Maximale Zeit ist bei [mm]\alpha \approx[/mm] [mm] 59.\blue{6}° [/mm] : Zeit [mm]\approx[/mm] 2 Std 16 Min
Hallo rabilein,
ich habe die Rechnungen nun mit Differentialrechnung
durchgeführt und kann deine Ergebnisse bestätigen.
Die exakten Werte für die beiden Winkel (Bogenmass):
[mm] \alpha_1=\arcsin\left(\wurzel{\bruch{7-4*\sqrt{2}}{17}}\,\right)
[/mm]
[mm] \alpha_2=\arcsin\left(\wurzel{\bruch{7+4*\sqrt{2}}{17}}\,\right)
[/mm]
Nach dem Ableiten mittels Quotientenregel und diversen
trigonometrischen Umformungen bin ich für ihre Bestim-
mung auf die Gleichung [mm] 17\,Q^2-14\,Q+1=0 [/mm] gekommen, wobei
[mm] Q=\sin^2(\alpha)
[/mm]
> Warum denke ich mir immer Aufgaben aus, die ich selber
> nicht lösen kann?
> Oder besser gefragt: Warum kann ich die Aufgaben nicht
> selber lösen, die ich mir ausdenke?
Du suchst offenbar die Herausforderung. Auch für Sportler
ist ein gutes Rezept: "Geh an deine Grenzen !" - das zahlt
sich aus, weil dabei die Grenzen erweitert werden ...
LG Al
|
|
|
| |
|
Damit die mengenmäßigen Angaben doch halbwegs
realistisch werden, möchte ich empfehlen, die Regen-
intensität von 1m/Stunde auf 1m/Tag zu reduzieren.
Auf den Bergen der hawaiianischen Insel Kauai soll
es schon vorgekommen sein, dass innert 24 Stunden
mehr als 1000 mm Regen gefallen ist. Und im Netz
habe ich gefunden:
"Die größte Niederschlagsmenge, die jemals innerhalb
von 24 Stunden gemessen wurde, liegt übrigens bei
1870 Litern pro Quadratmeter. Nass wurde damals, am
15. und 16. März 1953, die Ortschaft Cilaos auf der
französischen Insel La Réunion im Indischen Ozean."
LG Al
|
|
|
|
