www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Physik" - Regentropfen
Regentropfen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Physik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Regentropfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Mo 26.11.2018
Autor: nosche

Aufgabe
Wir möchten in dieser Aufgabe einen kugelförmigen Regentropfen (Radius [mm] R_{0} [/mm] und Masse m) betrachten, der im Schwerefeld der Erde zu Boden fällt, und dabei dem Luftwiderstand ausgesetzt ist. Die Dichte ρ des Wassers bleibe dabei konstant.
Die Luftreibungskraft soll dabei sowohl proportional zu der Querschnittsfläche des Tropfens, als auch zu seiner Geschwindigkeit sein, das heisst
[mm] \vec{F_{L}}(t)=- \beta*\pi*R^{2} \dot{\vec{r}}(t) [/mm] mit β > 0.

(a) Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen des Tropfens
[mm] \ddot{\vec{r}}(t)=- \tau^{−1}\dot{\vec{r}}(t) [/mm] − [mm] g\vec{e_{z}} [/mm] ,

lauten, wobei [mm] \tau^{-1}=\bruch{3β}{4R\rho}. [/mm]
(b) Die Anfangsbedingungen sollen sein [mm] \vec{r}(0)=(0,0,0) [/mm] und [mm] \dot{\vec{r}}(0)=(0,0,0). [/mm] Zeigen Sie, dass damit direkt folgt x(t)=y(t)=0.
(c) Machen Sie nun den Ansatz [mm] \dot{z}(t)=φ(t)e^{-\tau*t} [/mm] , und bestimmen Sie φ(t), sowie [mm] \dot{z}(t). [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

a) krieg ich noch hin
[mm] \vec{F}=m*\ddot{\vec{r}} [/mm] = [mm] -mg*\vec{e_{z}}+\vec{F_{L}}(t) [/mm] = [mm] -mg*\vec{e_{z}} [/mm] - [mm] \beta*\pi*R^{2} \dot{\vec{r}}(t) [/mm]
[mm] \ddot{\vec{r}} [/mm] = [mm] -g*\vec{e_{z}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{m} \beta*\pi*R^{2} \dot{\vec{r}}(t) [/mm]
mit [mm] m=\roh*V=\rho*\bruch{4}{3}*\pi*R^{3}: [/mm]
[mm] \ddot{\vec{r}} [/mm] = - [mm] \bruch{3*\beta*\pi*R^{2}}{4*\pi*R^{3}*\rho}*\dot{\vec{r}}(t)-g*\vec{e_{z}}= [/mm] - [mm] \bruch{3*\beta*}{4*R*\rho}*\dot{\vec{r}}(t) -g*\vec{e_{z}} [/mm] = [mm] -\tau^{-1}*\dot{\vec{r}}(t) -g*\vec{e_{z}} [/mm]

b) jetzt wirds wackelig:
[mm] \vec{r}(t)=\vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)} [/mm]
nach Vorraussetzung
[mm] \vec{r}(0)=\vektor{x(0) \\ y(0) \\ z(0)} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \dot{\vec{r}}(0)=\vektor{\dot{x}(0) \\ \dot{y}(0) \\ \dot{z}(0)} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
in x- und y-Richtung ändert bewegt sich der Tropfen zu Beginn nicht und bleibt am Ort. Für [mm] \ddot{r} [/mm] wirkt nur eine Komponente [mm] -g*\vec{e_{z}} [/mm] nach unten, damit bleiben die x- und y- Komponenten Null: x(t)=y(t)=0 .
c) jetzt wirds dunkel
[mm] \dot{z}(t)=-\tau^{-1} [/mm] = [mm] \phi(t)e^{-\bruch{t}{\tau}}\Rightarrow \phi(t)=\bruch{-\tau^{-1}}{e^{-\bruch{t}{\tau}}}=-\tau^{-1}*e^{\bruch{t}{\tau}} [/mm]
[mm] \dot{z}(t)=-\bruch{1}{\tau}*e^{\bruch{t}{\tau}}*e^{-\bruch{*t}{\tau}}=-\bruch{1}{\tau} [/mm]
stimmt das so?



        
Bezug
Regentropfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mo 26.11.2018
Autor: chrisno


> ....
> a) krieg ich noch hin
>  ....= [mm]-\tau^{-1}*\dot{\vec{r}}(t) -g*\vec{e_{z}}[/mm]

[ok]

>  
> b) jetzt wirds wackelig:
> [mm]\vec{r}(t)=\vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)}[/mm]
>  nach
> Vorraussetzung
>  [mm]\vec{r}(0)=\vektor{x(0) \\ y(0) \\ z(0)}[/mm] = [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\dot{\vec{r}}(0)=\vektor{\dot{x}(0) \\ \dot{y}(0) \\ \dot{z}(0)}[/mm]
> = [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  in x- und y-Richtung ändert
> bewegt sich der Tropfen zu Beginn nicht und bleibt am Ort.
> Für [mm]\ddot{r}[/mm] wirkt nur eine Komponente [mm]-g*\vec{e_{z}}[/mm] nach
> unten, damit bleiben die x- und y- Komponenten Null:
> x(t)=y(t)=0 .

So wie ich die Aufgabe lese, machst Du es Dir hier zu einfach. Du musst zeigen, dass
[mm] $\ddot{x}(t) [/mm] = [mm] \ddot{y}(t) [/mm] = 0$
das ist zwar klar, aber es soll eine Gleichung mit diesem Ergebnis da stehen.

> c) jetzt wirds dunkel
>  [mm]\dot{z}(t)=-\tau^{-1}[/mm]

Wieso soll das gelten?

> ...

  
Du solltest mit der Differentialgleichung anfangen:

$ [mm] \ddot{z}(t) [/mm] = [mm] -\tau^{-1} \dot{z}(t) [/mm] -g$
Als nächstes leitest Du den Anstaz für [mm] $\dot{z}(t)$ [/mm] ab und erhältst so [mm] $\ddot{z}(t)$. [/mm] (Produktregel)
Dann setzt Du [mm] $\dot{z}(t)$ [/mm] und [mm] $\ddot{z}(t)$ [/mm] in die Gleichung ein und vereinfachst.


Bezug
                
Bezug
Regentropfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Mo 26.11.2018
Autor: nosche

vielen Dank für die Hilfe
> [mm]\ddot{z}(t) = -\tau^{-1} \dot{z}(t) -g[/mm]

[mm] \dot{z}(t)=\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}} [/mm]
[mm] \ddot{z}(t)=\dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}} [/mm]
[mm] \dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}-\bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}=-\bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}-g [/mm]
[mm] \dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}=-g [/mm]
[mm] \dot{\phi}(t)=-g*e^{\bruch{t}{\tau}} [/mm]
[mm] \phi(t)=-gt*e^{\bruch{t}{\tau}} [/mm]
[mm] \dot{z}=-gt [/mm]

ich bin weiterhin verunsichert, so besser?


Bezug
                        
Bezug
Regentropfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Mo 26.11.2018
Autor: chrisno


> vielen Dank für die Hilfe
>  > [mm]\ddot{z}(t) = -\tau^{-1} \dot{z}(t) -g[/mm]

>  [mm]\dot{z}(t)=\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}[/mm]
>  
> [mm]\ddot{z}(t)=\dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}[/mm]

[ok]

>  
> [mm]\dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}-\bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}=-\bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}-g[/mm]
>  
> [mm]\dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}=-g[/mm]
>  [mm]\dot{\phi}(t)=-g*e^{\bruch{t}{\tau}}[/mm]

[ok]

>  [mm]\phi(t)=-gt*e^{\bruch{t}{\tau}}[/mm]

[notok]
hinter das g gehört kein t, sondern ...
Dann solltest Du dir noch eine Integrationskonstante spendieren.

Ich habe das noch nicht durchgerechnet, daher weiß ich noch nicht, wie es ausgeht. Ich habe es mal selbst gerechnet, aber nicht mit diesem Ansatz.


Bezug
                                
Bezug
Regentropfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 Mo 26.11.2018
Autor: nosche

danke für deinen unermüdlichen Einsatz.
Es muss heißen
[mm] \phi(t)=-g*\tau*e^{\bruch{t}{\tau}}+C [/mm]

[mm] \dot{z}(t)=(-g*\tau*e^{\bruch{t}{\tau}}+C)*e^{-\bruch{t}{\tau}}=-g*\tau*e^{\bruch{t}{\tau}}*e^{-\bruch{t}{\tau}}+Ce^{-\bruch{t}{\tau}}=-g*\tau+Ce^{-\bruch{t}{\tau}} [/mm]
[mm] \dot{z}(0)=0=-g*\tau+C [/mm] also [mm] C=g*\tau [/mm]
[mm] \dot{z}(t)=-g*\tau+g*\tau*e^{-\bruch{t}{\tau}}=g*\tau*(e^{-\bruch{t}{\tau}}-1) [/mm]

[mm] z(t)=-g*\tau*t-g*\tau^{2}*e^{-\bruch{t}{\tau}}+C [/mm]
...
nochmals:danke, danke, danke


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Physik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]