Regentropfen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mo 26.11.2018 | | Autor: | nosche |
| Aufgabe | Wir möchten in dieser Aufgabe einen kugelförmigen Regentropfen (Radius [mm] R_{0} [/mm] und Masse m) betrachten, der im Schwerefeld der Erde zu Boden fällt, und dabei dem Luftwiderstand ausgesetzt ist. Die Dichte ρ des Wassers bleibe dabei konstant.
Die Luftreibungskraft soll dabei sowohl proportional zu der Querschnittsfläche des Tropfens, als auch zu seiner Geschwindigkeit sein, das heisst
[mm] \vec{F_{L}}(t)=- \beta*\pi*R^{2} \dot{\vec{r}}(t) [/mm] mit β > 0.
(a) Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen des Tropfens
[mm] \ddot{\vec{r}}(t)=- \tau^{−1}\dot{\vec{r}}(t) [/mm] − [mm] g\vec{e_{z}} [/mm] ,
lauten, wobei [mm] \tau^{-1}=\bruch{3β}{4R\rho}.
[/mm]
(b) Die Anfangsbedingungen sollen sein [mm] \vec{r}(0)=(0,0,0) [/mm] und [mm] \dot{\vec{r}}(0)=(0,0,0). [/mm] Zeigen Sie, dass damit direkt folgt x(t)=y(t)=0.
(c) Machen Sie nun den Ansatz [mm] \dot{z}(t)=φ(t)e^{-\tau*t} [/mm] , und bestimmen Sie φ(t), sowie [mm] \dot{z}(t). [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a) krieg ich noch hin
[mm] \vec{F}=m*\ddot{\vec{r}} [/mm] = [mm] -mg*\vec{e_{z}}+\vec{F_{L}}(t) [/mm] = [mm] -mg*\vec{e_{z}} [/mm] - [mm] \beta*\pi*R^{2} \dot{\vec{r}}(t)
[/mm]
[mm] \ddot{\vec{r}} [/mm] = [mm] -g*\vec{e_{z}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{m} \beta*\pi*R^{2} \dot{\vec{r}}(t)
[/mm]
mit [mm] m=\roh*V=\rho*\bruch{4}{3}*\pi*R^{3}:
[/mm]
[mm] \ddot{\vec{r}} [/mm] = - [mm] \bruch{3*\beta*\pi*R^{2}}{4*\pi*R^{3}*\rho}*\dot{\vec{r}}(t)-g*\vec{e_{z}}= [/mm] - [mm] \bruch{3*\beta*}{4*R*\rho}*\dot{\vec{r}}(t) -g*\vec{e_{z}} [/mm] = [mm] -\tau^{-1}*\dot{\vec{r}}(t) -g*\vec{e_{z}}
[/mm]
b) jetzt wirds wackelig:
[mm] \vec{r}(t)=\vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)}
[/mm]
nach Vorraussetzung
[mm] \vec{r}(0)=\vektor{x(0) \\ y(0) \\ z(0)} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \dot{\vec{r}}(0)=\vektor{\dot{x}(0) \\ \dot{y}(0) \\ \dot{z}(0)} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
in x- und y-Richtung ändert bewegt sich der Tropfen zu Beginn nicht und bleibt am Ort. Für [mm] \ddot{r} [/mm] wirkt nur eine Komponente [mm] -g*\vec{e_{z}} [/mm] nach unten, damit bleiben die x- und y- Komponenten Null: x(t)=y(t)=0 .
c) jetzt wirds dunkel
[mm] \dot{z}(t)=-\tau^{-1} [/mm] = [mm] \phi(t)e^{-\bruch{t}{\tau}}\Rightarrow \phi(t)=\bruch{-\tau^{-1}}{e^{-\bruch{t}{\tau}}}=-\tau^{-1}*e^{\bruch{t}{\tau}}
[/mm]
[mm] \dot{z}(t)=-\bruch{1}{\tau}*e^{\bruch{t}{\tau}}*e^{-\bruch{*t}{\tau}}=-\bruch{1}{\tau}
[/mm]
stimmt das so?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mo 26.11.2018 | | Autor: | chrisno |
> ....
> a) krieg ich noch hin
> ....= [mm]-\tau^{-1}*\dot{\vec{r}}(t) -g*\vec{e_{z}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) jetzt wirds wackelig:
> [mm]\vec{r}(t)=\vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)}[/mm]
> nach
> Vorraussetzung
> [mm]\vec{r}(0)=\vektor{x(0) \\ y(0) \\ z(0)}[/mm] = [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\dot{\vec{r}}(0)=\vektor{\dot{x}(0) \\ \dot{y}(0) \\ \dot{z}(0)}[/mm]
> = [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> in x- und y-Richtung ändert
> bewegt sich der Tropfen zu Beginn nicht und bleibt am Ort.
> Für [mm]\ddot{r}[/mm] wirkt nur eine Komponente [mm]-g*\vec{e_{z}}[/mm] nach
> unten, damit bleiben die x- und y- Komponenten Null:
> x(t)=y(t)=0 .
So wie ich die Aufgabe lese, machst Du es Dir hier zu einfach. Du musst zeigen, dass
[mm] $\ddot{x}(t) [/mm] = [mm] \ddot{y}(t) [/mm] = 0$
das ist zwar klar, aber es soll eine Gleichung mit diesem Ergebnis da stehen.
> c) jetzt wirds dunkel
> [mm]\dot{z}(t)=-\tau^{-1}[/mm]
Wieso soll das gelten?
> ...
Du solltest mit der Differentialgleichung anfangen:
$ [mm] \ddot{z}(t) [/mm] = [mm] -\tau^{-1} \dot{z}(t) [/mm] -g$
Als nächstes leitest Du den Anstaz für [mm] $\dot{z}(t)$ [/mm] ab und erhältst so [mm] $\ddot{z}(t)$. [/mm] (Produktregel)
Dann setzt Du [mm] $\dot{z}(t)$ [/mm] und [mm] $\ddot{z}(t)$ [/mm] in die Gleichung ein und vereinfachst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 26.11.2018 | | Autor: | nosche |
vielen Dank für die Hilfe
> [mm]\ddot{z}(t) = -\tau^{-1} \dot{z}(t) -g[/mm]
[mm] \dot{z}(t)=\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}
[/mm]
[mm] \ddot{z}(t)=\dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}
[/mm]
[mm] \dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}-\bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}=-\bruch{1}{\tau}*\phi (t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}-g
[/mm]
[mm] \dot{\phi}(t)*e^{\bruch{-t}{\tau}}=-g
[/mm]
[mm] \dot{\phi}(t)=-g*e^{\bruch{t}{\tau}}
[/mm]
[mm] \phi(t)=-gt*e^{\bruch{t}{\tau}}
[/mm]
[mm] \dot{z}=-gt
[/mm]
ich bin weiterhin verunsichert, so besser?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Mo 26.11.2018 | | Autor: | nosche |
danke für deinen unermüdlichen Einsatz.
Es muss heißen
[mm] \phi(t)=-g*\tau*e^{\bruch{t}{\tau}}+C
[/mm]
[mm] \dot{z}(t)=(-g*\tau*e^{\bruch{t}{\tau}}+C)*e^{-\bruch{t}{\tau}}=-g*\tau*e^{\bruch{t}{\tau}}*e^{-\bruch{t}{\tau}}+Ce^{-\bruch{t}{\tau}}=-g*\tau+Ce^{-\bruch{t}{\tau}}
[/mm]
[mm] \dot{z}(0)=0=-g*\tau+C [/mm] also [mm] C=g*\tau
[/mm]
[mm] \dot{z}(t)=-g*\tau+g*\tau*e^{-\bruch{t}{\tau}}=g*\tau*(e^{-\bruch{t}{\tau}}-1)
[/mm]
[mm] z(t)=-g*\tau*t-g*\tau^{2}*e^{-\bruch{t}{\tau}}+C
[/mm]
...
nochmals:danke, danke, danke
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
