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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:47 Sa 03.02.2007 | | Autor: | rainer9 |
| Aufgabe | | Leiten Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Normale einer Regressionsebene durch eine Menge von Punkten im [mm] \IR^{3} [/mm] her. |
Bis jetzt habe ich folgendes:
Da die Ebene durch das geometrische Mittel der Punkte geht, muß offenbar nur noch die Ebenennormale bestimmt werden, um die Ebene eindeutig festzulegen. Die allgemeine Ebenengleichung ist: F(x,y,z) = [mm] a_{0}x [/mm] + [mm] a_{1}y [/mm] + [mm] a_{2}z [/mm] - b = 0
Die Normale würde ich also über die Koeffizienten [mm] (a_{0}, a_{1}, a_{2}) [/mm] erhalten.
Ein Punkt mit F(x,y,z) > 0 bzw. F(x,y,z) < 0 müßte über bzw. unter der Ebene liegen, so daß in der Regression quadratische Abweichungen von F(x,y,z) bestraft werden müßten. Als Fehlerfunktion würde ich dann minimieren: [mm] Err(a_{0}, a_{1}, a_{2}) [/mm] = arg [mm] min_{a_{0}, a_{1}, a_{2}} [/mm] 1/2*(F(x,y,z))².
Ich würde dann Gleichungen von diesem Typ erhalten:
[mm] \bruch{\partial}{\partial a_{0}} [/mm] Err = x*F(x,y,z) = 0
etc. für die anderen Koeffizienten.
Ich sehe jetzt noch nicht, wie ich mit diesem Gleichungssystem auf die Koeffizienten in Abhängigkeit von den Eingabekoordinaten aller Punkte [mm] (x_{i}, y_{i}, z_{i}) [/mm] kommen kann. Wahrscheinlich muß man das ganze in Matrixschreibweise lösen (?) - damit kenne ich mich leider nicht aus. Wie komme ich hier am Besten weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 11.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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