Regulär =>Zeilenumtauschung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | | Sei B [mm] \in \IK^{nxn} [/mm] regulär. Durch Zeilenvertauschung kann B in eine Matrix A übergeführt werden,deren Diagonalelemente von Null verschieden sind. |
Hallo ^^
dieser Satz steht in unserem Numerikskript, leider ohne Beweis und ich habe das Gefühl, dass er vielleicht in der Prüfung dran kommen könnte.
Habe mir als erstes überlegt, wieso die Rückrichtung nicht funktioniert, aber das wird einem ja ziemlich schnell klar, da nicht jede vollbesetzte Matrix regulär sein muss
z.B ja [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }
[/mm]
Dass die Behauptung für Zeilenumformungen klappt ist auch logisch, sieht man ja spätestens beim Gauß-Jordan-Algorithmus ...
Okay nur Zeilenvertauschungen
man kann ja die Aussage auch umdrehen und beweisen, dass wenn wir durch Zeilenumformungen nur eine Matrix bekommen mit mindestens einer Null auf der Diagonalen, dass sie dann singulär ist.
Kann ich dann also ohne Einschränkung annehmen, dass es mindestens zwei Zeilen gibt die Null sind ausser an der j-ten Stelle? weil dann wären die Zeilen ja linear abhängig und die Matrix also singulär. Habe aber das Gefühl, dass ist schon eine zu starke Einschränkung...
Wäre nett wenn mir einer helfen kann :3
LG
Katze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Mau Katze!
> Sei B [mm]\in \IK^{nxn}[/mm] regulär. Durch Zeilenvertauschung kann
> B in eine Matrix A übergeführt werden,deren
> Diagonalelemente von Null verschieden sind.
>
> Hallo ^^
> dieser Satz steht in unserem Numerikskript, leider ohne
> Beweis und ich habe das Gefühl, dass er vielleicht in der
> Prüfung dran kommen könnte.
>
> Habe mir als erstes überlegt, wieso die Rückrichtung
> nicht funktioniert, aber das wird einem ja ziemlich schnell
> klar, da nicht jede vollbesetzte Matrix regulär sein muss
> z.B ja [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }[/mm]
Genau.
> Dass die Behauptung für Zeilenumformungen klappt ist auch
> logisch, sieht man ja spätestens beim
> Gauß-Jordan-Algorithmus ...
>
> Okay nur Zeilenvertauschungen
>
> man kann ja die Aussage auch umdrehen und beweisen, dass
> wenn wir durch Zeilenumformungen nur eine Matrix bekommen
> mit mindestens einer Null auf der Diagonalen, dass sie dann
> singulär ist.
Ja, das geht schon.
> Kann ich dann also ohne Einschränkung annehmen, dass es
> mindestens zwei Zeilen gibt die Null sind ausser an der
> j-ten Stelle? weil dann wären die Zeilen ja linear
> abhängig und die Matrix also singulär. Habe aber das
> Gefühl, dass ist schon eine zu starke Einschränkung...
Nein, so einfach geht es nicht.
Schau dir doch mal die Determinante der Matrix an. Und zwar mit der ![[]](/images/popup.gif) Leibniz-Formel. Du brauchst nur diese Formel und den Zusammenhang zwischen Determinante und Regularitaet.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Hallo :3
danke erst mal fürs schnelle Antworten, aber wäre auch zu schön um wahr zu sein, dass es so einfach ist...
Oha, die Leibniz-Formel, da war ich ja mal froh die zu verstehen, aber damit rechnen...
okay der Zusammenhang der Determinante und der Regulärität einer Matrix B ist ja, dass [mm] \det(A) \not= [/mm] 0
heißt ja dann bei der Leibnizformel, dass die Summe über das Produkt über die ungeraden Permutationen ungleich der der geraden Permutationen sind
hm, die Formel sagt ja grob aus, dass wir die Matrixeinträge in einer bestimmten Art miteinander multiplizieren
und wenn ich mir mal so ne 2x2-Matrix anschaue dann ist es recht klar, dass das Lemma erfüllt ist
man hat ja die Determinante ad-bc [mm] (\not=0) [/mm] für
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] und da wir in einem Körper sind, der dann Nullteilerfrei ist, dass wenn a =0 ist, c [mm] \not= [/mm] 0 ist, da ad [mm] \not= [/mm] bc
aber wie ich das formal mit den ganzen Permutationen erklären soll versteh ich leider nicht :(
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo :3
> danke erst mal fürs schnelle Antworten, aber wäre auch
> zu schön um wahr zu sein, dass es so einfach ist...
>
> Oha, die Leibniz-Formel, da war ich ja mal froh die zu
> verstehen, aber damit rechnen...
>
> okay der Zusammenhang der Determinante und der
> Regulärität einer Matrix B ist ja, dass [mm]\det(A) \not=[/mm] 0
> heißt ja dann bei der Leibnizformel, dass die Summe über
> das Produkt über die ungeraden Permutationen ungleich der
> der geraden Permutationen sind
> hm, die Formel sagt ja grob aus, dass wir die
> Matrixeinträge in einer bestimmten Art miteinander
> multiplizieren
> und wenn ich mir mal so ne 2x2-Matrix anschaue dann ist es
> recht klar, dass das Lemma erfüllt ist
>
> man hat ja die Determinante ad-bc [mm](\not=0)[/mm] für
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und da wir in einem Körper sind,
> der dann Nullteilerfrei ist, dass wenn a =0 ist, c [mm]\not=[/mm] 0
> ist, da ad [mm]\not=[/mm] bc
Es ist ja so, dass mindestens einer der beiden Summanden [mm] $(-1)^0 [/mm] a d$ und [mm] $(-1)^1 [/mm] b c$ ungleich 0 sein muss. Und je nachdem welcher das ist bekommst du eine passende (Nicht-)Vertauschung der Zeilen, so dass die Diagonale nach dem Vertauschen nur Werte ungleich 0 hat.
> aber wie ich das formal mit den ganzen Permutationen
> erklären soll versteh ich leider nicht :(
Auch hier gilt: wenn [mm] $\sum a_i \neq [/mm] 0$ ist, dann gibt es ein $i$ mit [mm] $a_i \neq [/mm] 0$.
Wenn du meinen Hinweis oben zu $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen verstanden hast solltest du das jetzt allein koennen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 26.01.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Danke schön ich glaube ich habs verstanden, aber würde es lieber nochmal überprüfen lassen:
Sei A eine reguläre nxn-Matrix
[mm] \gdw det(A)\not= [/mm] 0
[mm] \gdw \summe_{\sigma \in S_n} [/mm] ( sign [mm] (\sigma)\produkt_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}) \not=0 [/mm]
d.h
(i) die das die Summe über die Permutationen von [mm] A_n [/mm] ungleich der von [mm] S_n\A_n [/mm]
(ii) dass es mindestens ein [mm] \sigma \in S_n [/mm] gibt so dass [mm] \produkt_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}\not=0 [/mm] ist und da [mm] \sigma [/mm] eine Permutation ist, heißt also eine Bijektion von der Menge {1,...,n} in {1,...,n}, dass es in jeder Zeile und Spalte mindestens ein Element gibt, welches ungleich 0 ist
heißt man kann die Zeilen so vertauschen, dass ein Element ungleich Null auf der Diagonalen steht
wäre das Formal korrekt?
Vielen Dank schon mal
LG Katze :3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 28.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Katze!
> Danke schön ich glaube ich habs verstanden, aber würde es
> lieber nochmal überprüfen lassen:
>
> Sei A eine reguläre nxn-Matrix
> [mm]\gdw det(A)\not=[/mm] 0
> [mm]\gdw \summe_{\sigma \in S_n}[/mm] ( sign
> [mm](\sigma)\produkt_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}) \not=0[/mm]
Soweit ok, aber was soll das hier bedeuten?
> d.h
> (i) die das die Summe über die Permutationen von [mm]A_n[/mm]
> ungleich der von [mm]S_n\A_n[/mm]
Das ergibt fuer mich gar keinen Sinn.
> (ii) dass es mindestens ein [mm]\sigma \in S_n[/mm] gibt so dass
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}\not=0[/mm] ist und da [mm]\sigma[/mm]
> eine Permutation ist, heißt also eine Bijektion von der
> Menge {1,...,n} in {1,...,n}, dass es in jeder Zeile und
> Spalte mindestens ein Element gibt, welches ungleich 0 ist
> heißt man kann die Zeilen so vertauschen, dass ein Element
> ungleich Null auf der Diagonalen steht
Ja. Das kann man allerdings noch etwas sauberer aufschreiben 
LG Felix
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Hallo ^^
erst mal danke für deine Antwort
> > Sei A eine reguläre nxn-Matrix
> > [mm]\gdw det(A)\not=[/mm] 0
> > [mm]\gdw \summe_{\sigma \in S_n}[/mm] ( sign
> > [mm](\sigma)\produkt_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}) \not=0[/mm]
>
> Soweit ok, aber was soll das hier bedeuten?
>
wollte damit eigentlich nur sagen, dass ich mit der Leibniz-Formel argumentiere, ansatt zum Beispiel mit der Laplaceentwicklung oder so
> > d.h
> > (i) die das die Summe über die Permutationen von [mm]A_n[/mm]
> > ungleich der von [mm]S_n\A_n[/mm]
>
> Das ergibt fuer mich gar keinen Sinn.
naja damit wollte ich eigentlich nur ausschließen, dass der Minusterm der Summe gleich groß des Plusterms ist. Ich benutze das zwar nicht, aber das ist doch nicht falsch...
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> > (ii) dass es mindestens ein [mm]\sigma \in S_n[/mm] gibt so dass
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}\not=0[/mm] ist und da [mm]\sigma[/mm]
> > eine Permutation ist, heißt also eine Bijektion von der
> > Menge {1,...,n} in {1,...,n}, dass es in jeder Zeile und
> > Spalte mindestens ein Element gibt, welches ungleich 0 ist
> > heißt man kann die Zeilen so vertauschen, dass ein Element
> > ungleich Null auf der Diagonalen steht
>
> Ja. Das kann man allerdings noch etwas sauberer
> aufschreiben
hm mir fällt jetzt leider nur ne ein das in Quantoren zu schreiben also
[mm] \forall [/mm] i,j mit i,j [mm] \in [/mm] {1,...n} [mm] \exists [/mm] m,n [mm] \in [/mm] {1,..,n} : [mm] a_{im} \not= [/mm] 0 und [mm] a_{nj} \not= [/mm] 0
wäre das richtig? also "bildlich" ist alles klar aber das Aufschreiben...
LG
Katze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 30.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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