Regulär, Singulär < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Im Buch "mathematische formelsammlung" von papula steht auf s.213
"Ist A quadratisch, d.h. liegen n Vektoren des [mm] \IR^n [/mm] vor, so gelten die folgenden Aussagen:
(1) A ist regulär, d.h. det A [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \rightarrow [/mm] linear unabhängig
(2) A ist singulär, d.h. det A = 0 [mm] \rightarrow [/mm] linear abhängig
(3) Im [mm] R^n [/mm] gibt es maximal n linear unabhägnige Vektoren
"
Im Buch Repetitorium der Ingenieurmathematik Teil 1 auf s.112 steht:
"Wenn [mm] A^{-1} [/mm] nicht existiert, heißt A singulär, sonst regulär."
das heißt also um zu überprüfen ob eine Matrix singulär oder regulär ist muss ich nicht erst veruschen die inverse Matrix zu berechnen, und dann davon abhängig machen ob sie sich berechnen lässt oder nicht, also ob sie existiert oder nicht und damit ob die matrix regulär oder singulär ist .
ich kann stattdessen einfach nur schauen ob die determinante null ist oder nicht und wenn sie null ist dann ist die matrix singulär und besitzt somit auch keine inverse oder gilt dieser sachverhalt nur für quadratische matritzen und im falle einer nicht quadratischen matrix müsste ich den obigen weg gehen und schaue ob sich eine inverse matrix errechnen lässt oder nicht um zu prüfen ob sie singulär oder regulär ist.
|
|
| |
|
> Im Buch "mathematische formelsammlung" von papula steht auf
> s.213
>
> "Ist A quadratisch, d.h. liegen n Vektoren des [mm]\IR^n[/mm] vor,
> so gelten die folgenden Aussagen:
>
> (1) A ist regulär, d.h. det A [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\rightarrow[/mm] linear
> unabhängig
>
> (2) A ist singulär, d.h. det A = 0 [mm]\rightarrow[/mm] linear
> abhängig
>
> (3) Im [mm]R^n[/mm] gibt es maximal n linear unabhägnige Vektoren
> "
>
> Im Buch Repetitorium der Ingenieurmathematik Teil 1 auf
> s.112 steht:
>
> "Wenn [mm]A^{-1}[/mm] nicht existiert, heißt A singulär, sonst
> regulär."
>
> das heißt also um zu überprüfen ob eine Matrix singulär
> oder regulär ist muss ich nicht erst veruschen die inverse
> Matrix zu berechnen, und dann davon abhängig machen ob sie
> sich berechnen lässt oder nicht, also ob sie existiert oder
> nicht und damit ob die matrix regulär oder singulär ist .
>
> ich kann stattdessen einfach nur schauen ob die
> determinante null ist oder nicht und wenn sie null ist dann
> ist die matrix singulär und besitzt somit auch keine
> inverse oder gilt dieser sachverhalt nur für quadratische
> matritzen
Hast Du schon mal eine Determinante einer nicht-quadratischen Matrix berechnet? - Ich nicht.
> und im falle einer nicht quadratischen matrix
> müsste ich den obigen weg gehen und schaue ob sich eine
> inverse matrix errechnen lässt oder nicht um zu prüfen ob
> sie singulär oder regulär ist.
Eine nicht-quadratische [mm] $n\times [/mm] m$ Matrix hat keine Inverse: denn wenn $n < m$ ist, dann ist der Kern dieser Matrix [mm] $\supsetneq \{0\}$ [/mm] (die Matrix, aufgefasst als lineare Abbildung also nicht injektiv), und wenn $n>m$ ist, dann ist der von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannte Teilraum höchstens von der Dimension $m$, also kleiner als die Dimension des ganzen Spaltenraumes, $n$ (somit ist die Matrix, aufgefasst als lineare Abbildung, nicht surjektiv).
|
|
|
| |
|
> Hast Du schon mal eine Determinante einer
> nicht-quadratischen Matrix berechnet? - Ich nicht.
oh das ist gut.
also reicht es vollkommen aus die determinate der matrix zu berechnen. und wenn ich diese berechnet habe kann ich gleich zwei sachverhalte daraus schließen.
detA=0:
-Matrix linearbhänig
-singulär [mm] \rightarrow [/mm] keine inverse vorhanden
detA [mm] \not= [/mm] 0:
-Matrix linearunabhänig
-regulär [mm] \rightarrow [/mm] inverse vorhanden
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mo 04.08.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ist deine Determinante=0 dann bedeutet das, das die Matrix linear abhängige Spalten hat. Damit ist die Lineare Abbildung die die Matrix definiert nicht injektiv und somit kann sie keine Inverse haben.
Ist die [mm] Determinante\not= [/mm] 0 dann hat die Matrix linear unabhängige Spalten, definiert also einen Isomorphismus und ist somit surjektiv und injektiv und besitzt demnach auch eine Inverse, was ja sozusagen die Umkehrabbildung darstellt.
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mo 04.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
na also gut das mit dem surkjektiv und injektiv hab ich nicht verstanden, weil ich nicht weiß was diese begriffe bedeuten ^^ aber ich glaub mal das ist eine bestätigung zu dem was ich geschrieben habe ^^ ;) thx
|
|
|
|
