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Hallo, habe hier ein problem bei der bestimmung eines r:
Habe die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{5}\bruch{R_i - C_i}{(1+r)^i}=0. [/mm] so jetzt soll ich hier diese Summe nach r umstellen, um r zu bestimmen. Habe gerade keine ahnung wie, habe sowas noch nie gemacht.
Habe mal so angefangen:
[mm] \summe_{i=1}^{5}\bruch{R_i - C_i}{(1+r)^i}=0
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{5}\bruch{R_i }{(1+r)^i} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{5}\bruch{C_i}{(1+r)^i}=0
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{5}\bruch{R_i }{(1+r)^i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{5}\bruch{C_i}{(1+r)^i}
[/mm]
[mm] \bruch{R_1 }{(1+r)^1} [/mm] + [mm] \bruch{R_2 }{(1+r)^2} [/mm] + [mm] \bruch{R_3 }{(1+r)^3} [/mm] + [mm] \bruch{R_4 }{(1+r)^4} [/mm] + [mm] \bruch{R_5 }{(1+r)^5}= \bruch{C_1 }{(1+r)^1} [/mm] + [mm] \bruch{C_2 }{(1+r)^2} [/mm] + [mm] \bruch{C_3 }{(1+r)^3} [/mm] + [mm] \bruch{C_4 }{(1+r)^4} [/mm] + [mm] \bruch{C_5 }{(1+r)^5}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1+r}(R_1 [/mm] + [mm] \bruch{R_2 }{(1+r)} [/mm] + [mm] \bruch{R_3 }{(1+r)^2} [/mm] + [mm] \bruch{R_4 }{(1+r)^3} [/mm] + [mm] \bruch{R_5 }{(1+r)^4})=\bruch{1}{1+r}(C_1 [/mm] + [mm] \bruch{C_2 }{(1+r)} [/mm] + [mm] \bruch{C_3 }{(1+r)^2} [/mm] + [mm] \bruch{C_4 }{(1+r)^3} [/mm] + [mm] \bruch{C_5 }{(1+r)^4})
[/mm]
So, ich weiß nicht. ob das, was ich bisher gemacht habe überhaupt sinn macht, aber weiter komme ich jetzt irgendwie auch nicht.
kann mir vielleicht wer helfen? wie gesagt ,versuchen nach r= umzustellen.
Gruß
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Hallo Steve,
also so einfach ist das nicht nach r umzustellen, weil du da ein Polynom 4. Grades rausbekommst, von dem du die Nullstellen bestimmen musst.
Schreibe die Summe am anfang erstmal aus, multipliziere mit [mm] (1+r)^5.
[/mm]
MfG,
Gono.
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Hi,
aber hier habe ich die summe doch schon ausgeschrieben:
$ [mm] \bruch{R_1 }{(1+r)^1} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{R_2 }{(1+r)^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{R_3 }{(1+r)^3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{R_4 }{(1+r)^4} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{R_5 }{(1+r)^5}= \bruch{C_1 }{(1+r)^1} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C_2 }{(1+r)^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C_3 }{(1+r)^3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C_4 }{(1+r)^4} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C_5 }{(1+r)^5} [/mm] $
wenn ich jetzt mit [mm] (1+r)^5 [/mm] mult. würde, würde das ja nicht so viel bringen?
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Nein, da hast du die Reihe schon umgestellt.
Und natürlich würde es dir was bringen, die Brüche fallen nämlich weg.
Schreibe die Reihe mal auf OHNE irgendwas umzustellen oder den Bruch auseinanderzuziehen.
MfG,
Gono.
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Ah, meinst du das so?
[mm] \summe_{i=1}^{5}\bruch{R_i - C_i}{(1+r)^i}=0 [/mm]
[mm] \bruch{R_1 - C_1}{(1+r)^1}+\bruch{R_2 - C_2}{(1+r)^2}+\bruch{R_3 - C_3}{(1+r)^3}+\bruch{R_4 - C_4}{(1+r)^4}+\bruch{R_5 - C_5}{(1+r)^5}=0 [/mm]
[mm] (1+r)^5 (\bruch{R_1 - C_1}{(1+r)^1}+\bruch{R_2 - C_2}{(1+r)^2}+\bruch{R_3 - C_3}{(1+r)^3}+\bruch{R_4 - C_4}{(1+r)^4}+\bruch{R_5 - C_5}{(1+r)^5})=0
[/mm]
[mm] (1+r)^4(R_1 [/mm] - [mm] C_1)+ (1+r)^3(R_2 [/mm] - [mm] C_2)+ (1+r)^2(R_3 [/mm] - [mm] C_3)+ (1+r)(R_4 [/mm] - [mm] C_4)+(R_5 [/mm] - [mm] C_5)=0
[/mm]
So, aber wie kann man die letzte gleichung jetzt lösen?? das sieht ja nicht so einfach aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du irgendwas ueber die [mm] R_i [/mm] und [mm] C_i? [/mm] sonst versteh ich z. Bsp nicht warum da nicht einfach [mm] A_i [/mm] statt [mm] R_i -C_i [/mm] steht.
die Gleichung 4. ten grades kannst du ohne weitere kenntnisse nicht loesen.
Gruss leduart.
Was war die urspruengliche Aufgabe?
Gruss leduart
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Hi, nochmal.
> weisst du irgendwas ueber die $ [mm] R_i [/mm] $ und $ [mm] C_i? [/mm] $ sonst versteh ich z. Bsp nicht warum da nicht einfach $ [mm] A_i [/mm] $ statt $ [mm] R_i -C_i [/mm] $ steht.
Also ne, das kann man so nicht machen, also einfach ein [mm] A_i. [/mm] Habe mich auch vertan, die summe geht bis 7, nicht bis 5.
[mm] \summe_{i=1}^{7}\bruch{R_i - C_i}{(1+r)^i}=0
[/mm]
Die sache ist, das ist eine Aufgabe aus der Wirtschaft, habe versucht einer Freundin zu helfen, da ich es aber nicht hinbekommen habe. habe ich gesagt, ich kann mal im matheraum nachfragen.
von 1 - 7, das sind die jahre. [mm] R_i [/mm] und [mm] C_i [/mm] werden in prozenten angegeben.
[mm] R_i: [/mm] 0, 10, 10, 10, 10, 10, 15
[mm] C_i: [/mm] 25, 5, 5, 5, 5, 5, 6
[mm] (R_i-C_i): [/mm] -25, 5, 5, 5, 5, 5, 9
so mit excell kriegt man jetzt für r=9% (mit der Fkt. IKV, wobei ich gerade selber nicht weiß, wozu die Fkt. dient) raus. Die sache, die müssen versuchen, diese zahl r jetzt schriftlich zu berechen, und das soll mit der angegeben summe gehen, wenn man die einfach nach r umstellt und dann die zahlen einsetzt.
kann man das jetzt doch so lösen:
[mm] \bruch{R_1 - C_1}{(1+r)^1}+\bruch{R_2 - C_2}{(1+r)^2}+\bruch{R_3 - C_3}{(1+r)^3}+\bruch{R_4 - C_4}{(1+r)^4}+\bruch{R_5 - C_5}{(1+r)^5}+\bruch{R_6 - C_6}{(1+r)^6}+\bruch{R_7 - C_7}{(1+r)^7}=0
[/mm]
[mm] (1+r)^7 [\bruch{R_1 - C_1}{(1+r)^1}+\bruch{R_2 - C_2}{(1+r)^2}+\bruch{R_3 - C_3}{(1+r)^3}+\bruch{R_4 - C_4}{(1+r)^4}+\bruch{R_5 - C_5}{(1+r)^5}+\bruch{R_6 - C_6}{(1+r)^6}+\bruch{R_7 - C_7}{(1+r)^7}]=0 [/mm]
[mm] (1+r)^6(R_1 [/mm] - [mm] C_1)+ (1+r)^5(R_2 [/mm] - [mm] C_2)+ (1+r)^4(R_3 [/mm] - [mm] C_3)+ (1+r)^3(R_4 [/mm] - [mm] C_4)+(1+r)^2(R_5 [/mm] - [mm] C_5)+(1+r)(R_6 [/mm] - [mm] C_6)+(R_7 [/mm] - [mm] C_7)=0 [/mm]
So, aber wie kann man die letzte Gleichung jetzt lösen??? Sieht nämlich sehr schwierig aus....
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Hallo Steve,
die Gleichung ist auch nicht einfach zu lösen - aber wenn du für die [mm] R_{i} [/mm] und [mm] C_{i} [/mm] Zahlen gegeben hast, dann kannst du die zumindest noch einsetzen und bekommst so eine "normale" Gleichung sechsten Grades für r raus. Ich hab mich da wohl zwar beim Ausmultiplizieren vertan (wenn 9 rauskommen soll), aber so kommst du zu einer Gleichung.
Es fällt mir dabei auf, dass der konstante Term gerade 9 ist. Vielleicht fällt ja noch ein bisschen was weg und die wird per Hand lösbar. Ansonsten muss eine Näherungslösung (z.B. Newton-Verfahren) her, weil sie vom Grad 6 ist.
Gruß,
weightgainer
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Hi nochmal,
ja ich hatte auch schon dran gedacht, die Zahlen dort einzusetzten, also:
$ [mm] (1+r)^6(R_1 [/mm] $ - $ [mm] C_1)+ (1+r)^5(R_2 [/mm] $ - $ [mm] C_2)+ (1+r)^4(R_3 [/mm] $ - $ [mm] C_3)+ (1+r)^3(R_4 [/mm] $ - $ [mm] C_4)+(1+r)^2(R_5 [/mm] $ - $ [mm] C_5)+(1+r)(R_6 [/mm] $ - $ [mm] C_6)+(R_7 [/mm] $ - $ [mm] C_7)=0 [/mm] $
$ [mm] (1+r)^6(-25)+ 5*(1+r)^5 [/mm] + [mm] 5*(1+r)^4 [/mm] + [mm] 5*(1+r)^3 [/mm] + [mm] 5*(1+r)^2 [/mm] + 5*(1+r) + 9 =0 $
Aber wie man diese Gleichung löst, das weiß ich gerade echt nicht. Kann mir vielleicht jemand dabei helfen??
Gruß
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Hallo,
du kannst die Klammern ausmultiplizieren ( binomischer Lehrsatz, die Koeffizienten stehen im Pascalschen Dreieck usw.), jeweils die passenden [mm] r^{i} [/mm] zusammenfassen und bekommst am Ende eine Gleichung:
[mm]r^{6} + a_5*r^{5}+.... + a_1*r+9=0[/mm] (die anderen Zahlen aus den Klammern ergeben zusammen zufällig 0).
Ich habe die Gleichung dann mal elektronisch lösen lassen - da kommen zwei reelle Lösungen raus (und ein paar komplexe), von denen eine negativ ist, die sicher im Aufgabenkontext keinen Sinn macht und eine positive, nämlich r [mm] \approx [/mm] 0,08769663627.
Da du das ja ohne elektronische Hilfsmittel machen musst, bleibt dir hier nur der harte Weg, über ein Näherungsverfahren diese Lösung zu bekommen, z.B. das einfach verständliche Newton-Verfahren. Solchen Gleichungen ist in der Regel nicht anders beizukommen, es gibt dafür (mathematisch bewiesen) keine Lösungsformel. Die gibt es nur bis Gleichungen mit maximal [mm] x^{4}. [/mm] Sobald ein [mm] x^{5} [/mm] oder höheres auftaucht, muss man Glück haben, dass es ein Spezialfall ist oder du musst über Näherungen Lösungen ermitteln, kannst die dann z.B. mit Polynomdivision abspalten, reduzierst damit den Grad um 1, solange bis du nur noch [mm] x^{4} [/mm] hast und wendest dann die (nicht trivialen) Lösungsformeln an.
Wenn du keine komplexen Zahlen kennst, musst du Lösungen raten bis nur noch [mm] x^{2} [/mm] vorkommt. Das aber nur am Rande.
Kurz gesagt: ich sehe keinen trivialen Lösungsweg für deine Gleichung. Meine Rechnung widerspricht jetzt deinem Excel-Ergebnis - aber mit den Werten, die du gegeben hast, stimmt die einzige positive reelle Lösung deiner Gleichung. Evtl. spuckt Excel bei dieser Funktion direkt einen Prozentwert aus, und das würde ja wiederum ungefährt passen.
Gruß,
weightgainer
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