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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mi 14.04.2010 | | Autor: | rml_ |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{n} \left( \bruch{n}{n^2 + k^2} \right) [/mm] |
hallo:),
ich hab diverse ansätze
[mm] (n^2 [/mm] + [mm] k^2) [/mm] ist z.B die dritte binomische formel
oder ich könnte auch ein n ausklammern
wenn ich die dritte binomische formel daruas mache, kann ich dann sagen das (n-k), da k ja gegen n läuft 0 ist?
gruß rml_
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Mi 14.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie den Grenzwert [mm]\limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{n} \left( \bruch{n}{n^2 + k^2} \right)[/mm]
>
> hallo:),
>
> ich hab diverse ansätze
>
> [mm](n^2[/mm] + [mm]k^2)[/mm] ist z.B die dritte binomische formel
Nein, da müsste ein Minus zwischen den Quadraten stehen.
Gruiß Abakus
> oder ich könnte auch ein n ausklammern
> wenn ich die dritte binomische formel daruas mache, kann
> ich dann sagen das (n-k), da k ja gegen n läuft 0 ist?
>
> gruß rml_
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 14.04.2010 | | Autor: | rml_ |
ja richtig, dann bleibt mir nur n auszuklammern oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mi 14.04.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst im Nenner ein n ausklammern, aber ich glaube nicht, dass dir das viel weiterhilft! Schau am besten erstmal, ob die Reihe konvergiert, bevor du dich aufmachst einen Grenzwert zu bestimmen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 14.04.2010 | | Autor: | rml_ |
naja rein vom aussehen würde ich sagen dass die folge alleine gegen 0 geht, oder nicht?
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Hallo!
Zum Lösen dieser Aufgabe benötigst du einen Trick:
[mm] $\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}*\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})*f(x_{k})$,
[/mm]
wobei [mm] $x_{k} [/mm] = [mm] \frac{k}{n}$.
[/mm]
Was ist das? (Stichwort: Riemann-Summen)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 14.04.2010 | | Autor: | rml_ |
[mm] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})\cdot{}f(x_{k}) [/mm]
könntest du mir diese umformung erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mi 14.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib mal statt der Summe ein Integral, x=k/n
Dann siehst du, was gemeint ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 14.04.2010 | | Autor: | rml_ |
ne tut mir leid aber ich seh nicht inwiefern es mir das vereinfacht den grenzwert zu finden...
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Hallo!
Der Umformungsschritt ist:
[mm] $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})\cdot{}f(x_{k})$.
[/mm]
Das ist eigentlich weniger ein Umformungsschritt als eine Umbenennung.
Es gilt: [mm] $x_{k} [/mm] = [mm] \frac{k}{n}$, [/mm] und $f(x) = [mm] \frac{1}{1+x^{2}}$.
[/mm]
Das, was da oben steht, ist die Obersumme für die Berechnung des folgendes Integrals:
[mm] $\int_{0}^{1}f(x) [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 14.04.2010 | | Autor: | rml_ |
ok das hab ich verstanden danke:)
aber da wo vorher das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] stand steht jetzt [mm] (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})
[/mm]
warum, wenn [mm] x_{k} [/mm] als [mm] \bruch{k}{n} [/mm] definiert ist?
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Hallo rmi_,
> ok das hab ich verstanden danke:)
>
> aber da wo vorher das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] stand steht jetzt
> [mm](x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm]
> warum, wenn [mm]x_{k}[/mm] als [mm]\bruch{k}{n}[/mm] definiert ist?
Weil
[mm]x_{k}-x_{k-1}=\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n}=\bruch{k-\left(k-1\right)}{n}=\bruch{1}{n}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 14.04.2010 | | Autor: | rml_ |
also hab ich dann: [mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})\cdot{}f(x_{k}) [/mm]
ok
und das summenzeichen kann ich durch ein integral ersetzten?
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Hallo,
> also hab ich dann: [mm]\sum_{k=1}^{n}(x_{k}[/mm] -
> [mm]x_{k-1})\cdot{}f(x_{k})[/mm]
> ok
> und das summenzeichen kann ich durch ein integral
> ersetzten?
Oben steht eine Riemann-Obersumme.
Dadurch wurde das Integral von f(x) definiert!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 14.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst die Summe bis n abschätzen durch n*letztes Glied in einer Richtung und n*erstes Glied in der andern Richtung.
dann hast du schon mal die Konvergenz. und den Berich in dem der GW liegt.
Dann würd ich die Summe als Unter bzw. Obersumme eines Integrals betrachten, und vielleicht genauere Grenzen finden.
Ob das klappt hab ich nicht ausprobiert.
Gruss leduart
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