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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Fr 08.07.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Weisen Sie die Divergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n^{2}}
[/mm]
(a) mit dem Minorantenkriterium (achten Sie auf eine
korrekte Abschätzung!).
(b) mit dem Integralkriterium nach. Überprüfen Sie vor der
Anwendung des Integralkriteriums insbesondere die
Voraussetzungen dazu. |
Hallo,
für (a) hab ich das so gemacht:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n^{2}} \ge \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^{2}} \ge \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
und damit ist es ja eine divergente Minorante.
Bei (b) bin ich mir nicht ganz sicher. Also ich soll die vorraussetzungen prüfen. Die Funktion
f(n)= [mm] \bruch{n+1}{n^{2}}
[/mm]
ist auf ganz [mm] \IR [/mm] \ {0} stetig. Jetzt muss ich ja noch Monotonie überprüfen, aber muss es eine mon. fallende oder steigende Funktion sein? Die ist ja fallend, aber muss sie das auch sein? Dann frage ich mich, wie ich es genau mit dem Integralkriterium mache? Nehme ich einfach meine zuvor gefundene divergente Minorante und nehme die als Integral oder schätze ich das ganze nochmal neu ab?
LG
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Hallo al3pou,
> Weisen Sie die Divergenz der Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n^{2}}[/mm]
>
> (a) mit dem Minorantenkriterium (achten Sie auf eine
> korrekte Abschätzung!).
> (b) mit dem Integralkriterium nach. Überprüfen Sie vor
> der
> Anwendung des Integralkriteriums insbesondere die
> Voraussetzungen dazu.
> Hallo,
> für (a) hab ich das so gemacht:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n^{2}} \ge \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^{2}} \ge \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und damit ist es ja eine divergente Minorante.
Ja
> Bei (b) bin ich mir nicht ganz sicher. Also ich soll die
> vorraussetzungen
Nur ein "r" in "Voraussetzung"
> prüfen. Die Funktion
>
> f(n)= [mm]\bruch{n+1}{n^{2}}[/mm]
>
> ist auf ganz [mm]\IR[/mm] \ {0} stetig. Jetzt muss ich ja noch
> Monotonie überprüfen, aber muss es eine mon. fallende
> oder steigende Funktion sein?
Fallend
> Die ist ja fallend, aber muss
> sie das auch sein?
Schau dir doch die Voraussetzungen des Kriteriums an ...
> Dann frage ich mich, wie ich es genau
> mit dem Integralkriterium mache? Nehme ich einfach meine
> zuvor gefundene divergente Minorante und nehme die als
> Integral oder schätze ich das ganze nochmal neu ab?
Berechne [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{x+1}{x^2} \ dx}[/mm]
Existiert das, so ist die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2}$ [/mm] konvergent, existiert es nicht, dann ist die Reihe divergent.
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Fr 08.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Also ich weiß nicht genau, wie ich die Monotonie beweise -.- ...
Ich hab erstmal versucht es so zu lösen
f(n+1) [mm] \ge [/mm] f(n+2)
damit komme ich aber auf zwei sehr komische Brüche beide links von der y-Achse.
Dann hab ich mir gedacht, ich guck einfach, wann die Ableitung kleiner Null ist, weil sie dann auch fällt, da bekomme ich dann raus n > -2. Dann habe ich mir die Funktion mal plotten lassen und da sieht man, das sie bei -2 wirklich fällt, aber dann steigt sie wieder, ist bei Null nicht def. und danach fällt sie weiter. Mit dem ersten Versuch hab ich, wie gesagt, zwei komische Brüche raus, die links von der y-Achse liegen, aber das geht doch nicht, weil sie ab -2 zum ersten mal sinkt und dann wieder steigt bis zum Nullpunkt. Was muss ich also machen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Fr 08.07.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hier ist Ableiten wohl die einfachste Methode. Beachte, dass du die Funktion aber nur für x>0 betrachten musst! Was die Funktion für negative x-Werte treibt, ist egal, weil du ja eh nur von 1 bis unendlich integrieren musst am Ende.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Fr 08.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Hmmm, aber ich habe doch schon abgeleitet und kam dann auf -2 und das stimmt ja nur teilweise, weil es danach noch einmal steigt und dann fällt. Was muss ich also genau machen bzw einsetzen?
LG
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Hallo nochmal,
> Hmmm, aber ich habe doch schon abgeleitet und kam dann auf
> -2 und das stimmt ja nur teilweise,
Hää, das stimmt nicht nur teilweise nicht, das stimmt gar nicht!
Mit [mm]f(x)=\frac{x+1}{x^2}[/mm] ist doch wohl [mm]f'(x)=-\frac{x+2}{x^3}[/mm] nach Quotientenregel.
Nun betrachtest du [mm]f[/mm] auf [mm][1,\infty)[/mm], es ist also insbesondere [mm]x>0[/mm]
Also [mm]f'<0[/mm] auf [mm][1,\infty)[/mm] - fertig!
> weil es danach noch
> einmal steigt und dann fällt. Was muss ich also genau
> machen bzw einsetzen?
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Fr 08.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Ich glaub, ich schreib am besten mal hin, was ich jetzt rechne:
f'(x) < 0
[mm] -\bruch{x+2}{x^3} [/mm] < 0
[mm] \bruch{x+2}{x^3} [/mm] > 0
[mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] > [mm] -\bruch{2}{x^3}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] > -2
kann doch nicht sein. Wo hab ich nen Fehler gemacht?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 08.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Scachuzipus hat doch schon alles gesagt !!
Wir haben:
$ [mm] f'(x)=-\frac{x+2}{x^3} [/mm] $
Ist x >0, so sind doch Zähler und Nenner von [mm] \frac{x+2}{x^3} [/mm] beide >0. Damit ist [mm] \frac{x+2}{x^3}>0 [/mm] und somit
$ [mm] f'(x)=-\frac{x+2}{x^3} [/mm] <0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Fr 08.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Ehm okay, aber hab ich das nicht gemacht. Ich hab dann doch mit
[mm] -\bruch{x+2}{x^{3}} [/mm] < 0
gerechnet.
Ach jetzt versteh ich das, glaub ich. Heißt das : Wenn ich Werte einsetze > 0 dann ist die Ableitung immer < 0? Macht irgendwie Sinn -.-. Da hab ich mich ziemlich blöd angestellt, wenn es wirklich so ist.
LG
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Hallo nochmal,
> Ehm okay, aber hab ich das nicht gemacht. Ich hab dann doch
> mit
>
> [mm]-\bruch{x+2}{x^{3}}[/mm] < 0
>
> gerechnet.
Was meinst du mit "gerechnet"
Obiges, also [mm] $-\frac{x+2}{x^3}$ [/mm] ist die Ableitung $f'(x)$ von [mm] $f(x)=\frac{x+1}{x^2}$
[/mm]
Und die betrachtest du hier auf dem Intervall [mm] $[1,\infty)$
[/mm]
Dort ist die Ableitung kleiner als 0, also alles bestens!
> Ach jetzt versteh ich das, glaub ich. Heißt das : Wenn ich
> Werte einsetze > 0 dann ist die Ableitung immer < 0?
Hier ja!
> Macht
> irgendwie Sinn -.-. Da hab ich mich ziemlich blöd
> angestellt, wenn es wirklich so ist.
>
> LG
Nun berechne mal das Integral ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 08.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Ich hab dann partiell integriert und habe dann das raus:
[mm] -\bruch{n+1}{n}+ln|n|
[/mm]
und wenn ich das jetzt in meinem Intervall betrachte, dann läuft das ganze gegen [mm] \infty. [/mm] Also ist das Integral divergent.
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Hallo nochmal,
> Ich hab dann partiell integriert und habe dann das raus:
>
>
> [mm]-\bruch{n+1}{n}+ln|n|[/mm]
Hmmm, es ist doch [mm]\int{\frac{x+1}{x^2} \ dx}=\int{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right) \ dx}=\ln(x)-\frac{1}{x}[/mm]
Das in den Grenzen [mm]1-\infty[/mm] ...
>
> und wenn ich das jetzt in meinem Intervall betrachte, dann
> läuft das ganze gegen [mm]\infty.[/mm] Also ist das Integral
> divergent.
Das kommt nachher raus ...
Gruß
schachuzipus
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