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| Aufgabe | Konvergiert die Reihe def. durch:
[mm] a_n [/mm] = [mm] n!/n^{n} [/mm] ? |
Hier steh ich völlig auf dem Schlauch....
Meine Vermutung ist, dass sich die Reihe ähnlich wie [mm] \summe [/mm] 1/n verfällt, hab aber keine Beweisidee, dass sie divergent ist.
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Bietet sich nicht das Quotientenkriterium durch die ganzen Multiplikationen an?
[mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left| \frac{n^n}{(n+1)^n} \right|,\quad n\in\IN[/mm]
Und das sieht doch gut aus!
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Ok, danke ....
ich sitz schon den ganzen Tag an Aufgaben, da läufts nicht mehr so ganz rund.
Gruß
ConstantinJ
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo wieschoo,
> Bietet sich nicht das Quotientenkriterium durch die ganzen
> Multiplikationen an?
>
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left| \frac{n^n}{(n+1)^n} \right|,\quad n\in\IN[/mm]
>
> Und das sieht doch gut aus!
ja, ich möchte nur drauf hinweisen, dass entgegen mancher Vermutungen hier nicht [mm] $1\,$ [/mm] im Grenzwert rauskommt - sondern:
Man suche nach einer altbekannten Folge, die gegen [mm] $e\,$ [/mm] konvergiert.
(Tipp: [mm] $n^n/(n+1)^n=1/\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=...$)
[/mm]
@wieschoo: Mir ist schon klar, dass Dir(!) das klar war. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Konvergiert die Reihe def. durch:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]n!/n^{n}[/mm] ?
> Hier steh ich völlig auf dem Schlauch....
> Meine Vermutung ist, dass sich die Reihe ähnlich wie
> [mm]\summe[/mm] 1/n verfällt, hab aber keine Beweisidee, dass sie
> divergent ist.
erstmal:
[mm] $$a_n=n!/n^n$$
[/mm]
definiert eine Folge [mm] $(a_n)_n\,.$
[/mm]
Die Reihe, von der Du sprichst, ist sicher
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}\,,$$
[/mm]
und da ist der Tipp mit dem QK eine gute, zielführende Idee!
Gruß,
Marcel
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