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| Aufgabe | Zeigen Sie für x [mm] \in [/mm] (-1,1) die Gleichung [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)^2x^n [/mm] = [mm] \frac{1+x}{1-x^3}
[/mm]
Hinweis: Geometrische Summenformeln und Differentiation |
Hi,
ich hab schon Konvergenzradius der Reihe ausgerechnet das wäre (-1,1) denn in den Punkten {-1,1} konvergiert die Reihe nicht. Ich verstehe eine Mitschrift zu einer ähnlichen Aufgaben nicht und frage, daher wie man ab nun weitermacht.
f: [mm] \begin{cases} (-1,1) \to \IR \\ x \to \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)^2x^n \end{cases}
[/mm]
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> Zeigen Sie für x [mm]\in[/mm] (-1,1) die Gleichung
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)^2x^n[/mm] = [mm]\frac{1+x}{1-x^3}[/mm]
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> Hinweis: Geometrische Summenformeln und Differentiation
> Hi,
>
> ich hab schon Konvergenzradius der Reihe ausgerechnet das
> wäre (-1,1) denn in den Punkten {-1,1} konvergiert die
> Reihe nicht. Ich verstehe eine Mitschrift zu einer
> ähnlichen Aufgaben nicht und frage, daher wie man ab nun
> weitermacht.
>
> f: [mm]\begin{cases} (-1,1) \to \IR \\ x \to \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)^2x^n \end{cases}[/mm]
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schreibe erstmal: [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)^2x^n [/mm] nun integrieren
[mm] F(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)^2}{n+1}x^{n+1}+C=\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n+1} [/mm] +c das x rausziehen
[mm] =x*\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n [/mm] +c
nun [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n [/mm] als g(x) setzen, also ist F(x)=x*g(x)
mit g(x) nun wieder verfahren wie mit f(x), du erhälst am ende eine geometrische reihe für G(x), dessen grenzwert du kennst. nun musst du die schritte wieder umkehren die du bis jetzt gegangen bist (ableiten, multiplikation mit x, erneutes ableiten) um wieder zu f(x) zu kommen..
http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Potenzreihe#Ableitung_und_Integration_von_Potenzreihen
am ende der seite ist auch dazu ein kleines beispiel
gruß tee
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Wow danke,
also hab jetzt sowas hier stehen:
[mm] =x*\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n
[/mm]
g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n
[/mm]
in der Mitschrift die ich nicht lesen kann haben wir "bewiesen" das
[edit]
g(x) = [mm] \frac{1}{(1-x)^2}
[/mm]
nach deinem Text:
h(x) = [mm] \left(\frac{1}{(1-x)^2}*x\right)'
[/mm]
= [mm] \frac{2x}{(1-x)^3} [/mm] + [mm] \frac{1}{(1+x)^2} [/mm] => Richtig aber irgendwas stimmt nicht mit der Aufgabe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Do 14.01.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Ich weiss das ich was falsch verstehe, muss mich nochmal reindenken. Aber falls ihr was seht antwortet gerne, Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Fr 15.01.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Okey, der Tutor hat glaub ich ein Fehler gemacht.
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> Wow danke,
>
> also hab jetzt sowas hier stehen:
>
> [mm]=x*\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n[/mm]
>
> g(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n[/mm]
> in der Mitschrift
> die ich nicht lesen kann haben wir "bewiesen" das
> [edit]
> g(x) = [mm]\frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
>
> nach deinem Text:
>
> h(x) = [mm]\left(\frac{1}{(1-x)^2}*x\right)'[/mm]
>
> = [mm]\frac{2x}{(1-x)^3}[/mm] + [mm]\frac{1}{(1+x)^2}[/mm] => Richtig aber
der 2. nenner muss doch [mm] (1-x)^2 [/mm] lauten?
edit: quark, ich schau mal heut mittag drüber
edit2: ich denke, es soll statt [mm] \frac{1+x}{1-x^3} [/mm] eher [mm] \frac{1+x}{(1-x)^3} [/mm] heissen, jedenfalls komm ich auf das , wenn ichs ausrechne
> irgendwas stimmt nicht mit der Aufgabe!
>
gruß tee
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