Reihe: 1/(16k^2 - 4) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 01.12.2005 | | Autor: | Fei |
Hallo,
Ich habe folgendes Problem:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{16k^{2}-4}
[/mm]
und
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{16k^{3}-8k+\bruch{1}{k}}
[/mm]
Beim ersten muss ich woh irgendwie die Binomische Formel anwenden und den Bruch "trennen". Also wahrscheinlich irgendwie so:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{16k^{2}-4} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{a}{4k-2} [/mm] + [mm] \bruch{b}{4k+2} [/mm] )
Nur leider weiß ich nicht, was mir das bringen soll, daher ist mir auch unklar, was ich für a und b einsetzen soll.
Danke für eure Hilfe!
|
|
| |
|
Hallo Fei,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> Ich habe folgendes Problem:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{16k^{2}-4}[/mm]
> und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{16k^{3}-8k+\bruch{1}{k}}[/mm]
>
> Beim ersten muss ich woh irgendwie die Binomische Formel
> anwenden und den Bruch "trennen". Also wahrscheinlich
> irgendwie so:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{16k^{2}-4}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{a}{4k-2}[/mm] + [mm]\bruch{b}{4k+2}[/mm]
> )
> Nur leider weiß ich nicht, was mir das bringen soll, daher
> ist mir auch unklar, was ich für a und b einsetzen soll.
Die Unbekannten a und b mußt Du ausrechnen. Das machst Du in dem Du die beiden Brüche gleichnamig machst und dann die Koeffizienten links und rechts vergleichst. Betrachte dann diese Reihe und Du stellst fest, daß es sich um eine Teleskopsumme handelt, deren Summe sich leicht angeben läßt.
Aufgabe b) ist das selbe Spiel wie oben.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Do 01.12.2005 | | Autor: | Fei |
Hmm, also ich habe sie mal nenngleich gemacht, ich sehe aber nicht, wie ich jetzt a und b wählen soll, es ist doch eine ganze Schar von Lösungen?!?!?!
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{16k^{2}-4} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{a}{4k-2} [/mm] + [mm] \bruch{b}{4k+2}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{a(4k+2)}{(4k-2)(4k+2)} [/mm] + [mm] \bruch{b(4k-2)}{(4k+2)(4k-2)})
[/mm]
Wahrscheinlich hab ich was falsch verstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Do 01.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo du weisst scheints nicht, was ein Koeffizientenvergleich ist:
Du hast
[mm] \bruch{1}{16k^{2}-4}=\bruch{4ak+2a+4bk-2b)}{(4k-2)(4k+2)}[/mm] [/mm]
da das für ALLE k richtig sein muss muss 4ak+4bk=0 und 2a-2b=1
also b=-a ; a=1/4, b=-1/4
So geht man bei Bruchzerlegungen immer vor.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Fei |
Danke, die Tipps haben mir wirklich sehr geholfen! Konnte damit die zweite Aufgabe auch ganz leicht lösen!
Nochmals vielen Dank!
|
|
|
|
