Reihe = 0 => Summanden = 0 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:15 Do 15.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Es sind unendlich viele, zeitabhängige Werte [mm] $0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\ldots\to\infty$ [/mm] gegeben, für die man die Asymptotik [mm] $\lambda_i \sim C\cdot i^\frac{2}{m} \text{ mit } [/mm] C>0, [mm] m\in\IN$ [/mm] hat.
Nach einiger Rechnerei bin ich auf die Gleichung [mm] $\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s} [/mm] = 0$ gekommen, welche für alle s mit [mm]0
Daraus würde ich jetzt gerne [mm] $\frac{d}{dt} \lambda_i [/mm] = 0$ für alle i folgern (was mir auch recht plausibel erscheint).
Dummerweise will das nicht funktionieren.
Es gibt bisher folgende Ergebnisse:
Der Grenzübergang [mm] s\to0 [/mm] liefert [mm]\sum_{i\ge0}\frac{d}{dt}\lambda_i = 0[/mm], d.h. [mm] \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0} [/mm] ist eine Nullfolge.
Zusammen mit der Asymptotik für die [mm] \lambda_i [/mm] erhalten wir dann, das die Reihe [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm] sogar absolut konvergiert.
Was man auch noch machen könnte ist beliebig oft nach s ableiten. Dann erhält man Gleichungen der Form [mm] $\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\cdot e^{-\lambda_i\cdot s} [/mm] = 0$ für alle n, und mit dem Grenzübergang [mm] s\to0 [/mm] dann die Gleichungen [mm] $\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n [/mm] = 0.$
Aus [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm] für alle n, erhält man das die Folge [mm] \left(\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\right)_{i\ge0} [/mm] eine Nullfolge ist für alle n, und da die [mm] \lambda_i [/mm] wie eine Potenz von i gegen unendlich streben, erhält man das die Folge [mm] \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0} [/mm] schneller als jede Potenz von i gegen Null laufen muss.
Somit hat man dann die absolute Konvergenz der Reihen [mm] $\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n [/mm] = 0$ für alle [mm] n\ge0.
[/mm]
Dies alles hat aber bisher alles nicht wirklich weitergeholfen.
LG, Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Alex,
ich schicke mal vorweg, dass ich nicht alle deine Rechnungen und Folgerungen nachgerechnet habe, deshalb stelle ich die Frage mal nur auf teilweise beantwortet, damit sie noch jemand ankuckt.
> Hallo,
>
> ich habe folgendes Problem:
>
> Es sind unendlich viele, zeitabhängige Werte
> [mm]0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\ldots\to\infty[/mm] gegeben, für
> die man die Asymptotik [mm]\lambda_i \sim C\cdot i^\frac{2}{m} \text{ mit } C>0, m\in\IN[/mm]
> hat.
>
> Nach einiger Rechnerei bin ich auf die Gleichung
> [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s} = 0[/mm]
> gekommen, welche für alle s mit [mm]0
> gilt.
>
> Daraus würde ich jetzt gerne [mm]\frac{d}{dt} \lambda_i = 0[/mm]
> für alle i folgern (was mir auch recht plausibel
> erscheint).
>
> Dummerweise will das nicht funktionieren.
>
> Es gibt bisher folgende Ergebnisse:
>
> Der Grenzübergang [mm]s\to0[/mm] liefert
> [mm]\sum_{i\ge0}\frac{d}{dt}\lambda_i = 0[/mm], d.h.
> [mm]\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0}[/mm] ist eine
> Nullfolge.
>
> Zusammen mit der Asymptotik für die [mm]\lambda_i[/mm] erhalten wir
> dann, das die Reihe [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm]
> sogar absolut konvergiert.
Du sagst du hast
[mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm]
konvergiert absolut. Meinst du absolut gegen 0? (Das hab ich jetzt auf die Schnelle nicht nachvollzogen.)
Das wäre schön, denn dann hättest du ja:
[mm]\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}|=\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)|e^{-\lambda_i \cdot s}=0[/mm]
Dann könntest du sagen: Da alle Summanden nicht-negativ sind, die Summe aber Null, müssen alle Summanden gleich Null sein. Und da [mm] exp\not=0, [/mm] folgt die gewünschte Behauptung.
Alternativ würde es auch genügen, wenn die [mm] \lambda_i [/mm] monoton steigend in t wären (dann wären ihre Ableitungen immer nicht-negativ), aber das konnte ich mit dem was hier steht nicht erkennen.
>
> Was man auch noch machen könnte ist beliebig oft nach s
> ableiten. Dann erhält man Gleichungen der Form
> [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\cdot e^{-\lambda_i\cdot s} = 0[/mm]
> für alle n, und mit dem Grenzübergang [mm]s\to0[/mm] dann die
> Gleichungen [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0.[/mm]
>
> Aus [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm]
> für alle n, erhält man das die Folge
> [mm]\left(\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\right)_{i\ge0}[/mm]
> eine Nullfolge ist für alle n, und da die [mm]\lambda_i[/mm] wie
> eine Potenz von i gegen unendlich streben, erhält man das
> die Folge [mm]\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0}[/mm]
> schneller als jede Potenz von i gegen Null laufen muss.
>
> Somit hat man dann die absolute Konvergenz der Reihen
> [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm]
> für alle [mm]n\ge0.[/mm]
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> Dies alles hat aber bisher alles nicht wirklich
> weitergeholfen.
>
> LG, Alex
Viel Erfolg noch, LG Walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Hi Alex,
>
> ich schicke mal vorweg, dass ich nicht alle deine
> Rechnungen und Folgerungen nachgerechnet habe, deshalb
> stelle ich die Frage mal nur auf teilweise beantwortet,
> damit sie noch jemand ankuckt.
>
> > Hallo,
> >
> > ich habe folgendes Problem:
> >
> > Es sind unendlich viele, zeitabhängige Werte
> > [mm]0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\ldots\to\infty[/mm] gegeben, für
> > die man die Asymptotik [mm]\lambda_i \sim C\cdot i^\frac{2}{m} \text{ mit } C>0, m\in\IN[/mm]
> > hat.
> >
> > Nach einiger Rechnerei bin ich auf die Gleichung
> > [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s} = 0[/mm]
> > gekommen, welche für alle s mit [mm]0
> > gilt.
> >
> > Daraus würde ich jetzt gerne [mm]\frac{d}{dt} \lambda_i = 0[/mm]
> > für alle i folgern (was mir auch recht plausibel
> > erscheint).
> >
> > Dummerweise will das nicht funktionieren.
> >
> > Es gibt bisher folgende Ergebnisse:
> >
> > Der Grenzübergang [mm]s\to0[/mm] liefert
> > [mm]\sum_{i\ge0}\frac{d}{dt}\lambda_i = 0[/mm], d.h.
> > [mm]\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0}[/mm] ist eine
> > Nullfolge.
> >
> > Zusammen mit der Asymptotik für die [mm]\lambda_i[/mm] erhalten wir
> > dann, das die Reihe [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm]
> > sogar absolut konvergiert.
>
> Du sagst du hast
>
> [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm]
> konvergiert absolut. Meinst du absolut gegen 0? (Das hab
> ich jetzt auf die Schnelle nicht nachvollzogen.)
>
> Das wäre schön, denn dann hättest du ja:
>
> [mm]\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}|=\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)|e^{-\lambda_i \cdot s}=0[/mm]
>
> Dann könntest du sagen: Da alle Summanden nicht-negativ
> sind, die Summe aber Null, müssen alle Summanden gleich
> Null sein. Und da [mm]exp\not=0,[/mm] folgt die gewünschte
> Behauptung.
>
> Alternativ würde es auch genügen, wenn die [mm]\lambda_i[/mm]
> monoton steigend in t wären (dann wären ihre Ableitungen
> immer nicht-negativ), aber das konnte ich mit dem was hier
> steht nicht erkennen.
>
Leider gilt beides a-priori nicht, also es konvergiert weder [mm]\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}|[/mm] gegen Null, noch sind die Ableitungen der [mm] \lambda_i [/mm] alle positiv.
Genau das will ich ja irgendwie herleiten.
> >
> > Was man auch noch machen könnte ist beliebig oft nach s
> > ableiten. Dann erhält man Gleichungen der Form
> > [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\cdot e^{-\lambda_i\cdot s} = 0[/mm]
> > für alle n, und mit dem Grenzübergang [mm]s\to0[/mm] dann die
> > Gleichungen [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0.[/mm]
>
> >
> > Aus [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm]
> > für alle n, erhält man das die Folge
> >
> [mm]\left(\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\right)_{i\ge0}[/mm]
> > eine Nullfolge ist für alle n, und da die [mm]\lambda_i[/mm] wie
> > eine Potenz von i gegen unendlich streben, erhält man das
> > die Folge [mm]\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0}[/mm]
> > schneller als jede Potenz von i gegen Null laufen muss.
> >
> > Somit hat man dann die absolute Konvergenz der Reihen
> > [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm]
> > für alle [mm]n\ge0.[/mm]
> >
> > Dies alles hat aber bisher alles nicht wirklich
> > weitergeholfen.
> >
> > LG, Alex
>
> Viel Erfolg noch, LG Walde
Danke, Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 19.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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