Reihe, Cauchyprodukt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mi 20.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo leute...
hätte da eine frage wie ich am besten beim folgenden beispiel vorgehen soll.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}x^k*\summe_{k=1}^{\infty}x^k=\summe_{k=1}^{\infty}(k+1)*x^k
[/mm]
Damit und mit der Formel für die geometrische Reihe ist die Taylorreihe von [mm] f(x)=\bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] um x=0 herzuleiten.
Was wäre würdet ihr vorschlagen wie man diese Aufgabe angehen sollte.....oder wie ist sie anzugehen.
Danke wie immer im Voraus
mfg koko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Die Summation muß jeweils mit [mm]k=0[/mm] beginnen. Ansonsten einfach die Formel für das Cauchy-Produkt anwenden, dann steht schon alles da:
[mm]\left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} b_k x^k \right) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k x^k \ \ \text{mit} \ \ c_k = \sum_{\nu = 0}^{k} a_{\nu} b _{k - \nu}[/mm]
Was ist bei deiner Aufgabe [mm]a_k[/mm], was [mm]b_k[/mm] und was damit dann [mm]c_k[/mm]?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Do 21.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo ...
also ich habs leider nicht ganz verstanden....
ich glaub das problem ist die aufgabe richtig zu verstehn...
denn ich soll ja wie schon oben gepostet mit den beschriebenen formeln die taylorreihe von [mm] 1/(1-x)^2 [/mm] herleiten.
Könntest du/ Ihr mir das vielleicht etwas genauer erklären was da zu machen wäre und wieso??
wäre dankbar
mfg koko
|
|
|
| |
|
Hallo koko,
na, du kennst doch die geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k$
[/mm]
und weißt, dass sie für $|x|<1$ absolut konvergent ist und den (Reihen-)Wert [mm] $\frac{1}{1-x}$ [/mm] hat
Damit ist doch für $|x|<1$ dann [mm] $\frac{1}{(1-x)^2}=\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)$
[/mm]
Das liefert dir die Taylorreihe um [mm] $x_0=0$ [/mm] von [mm] $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$
[/mm]
Leopold hat dir ja oben schon die Formel für das Cauchyprodukt geliefert, also berechne das mal.
Du kannst ja auch mal (zur Kontrolle) die formelle Taylorreihe um [mm] $x_0=0$ [/mm] von [mm] $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$ [/mm] berechnen.
Deren Formel ist [mm] $T(x,0)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}x^k$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Do 21.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo....
ok habs gecheckt, aber beim cauychprodukt um [mm] c_k [/mm] auszurechen komm ich auf das: [mm] c_k=\summe_{i=0}^{k}x^i*x^{k-i}=\summe_{i=0}^{k}x^k= [/mm] [mm] (k+1)*x^k [/mm]
wie komme ich hier auf das letzte ergebniss nach dem ist gleich zeichen......???
wer weis dass, dem würde ich bitten mir zu helfen
Danke im Voraus
mfg koko
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Do 21.02.2008 | | Autor: | peterinsam |
im [mm] c_k [/mm] sind keine x enthalten (siehe Leopold, aber genauer)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Do 21.02.2008 | | Autor: | koko |
ja ich weis das in [mm] c_k [/mm] keine x enthalten sind....aber das hilft mir nicht weiter um zu begründen warum man auf das ergebniss kommt.
mfg koko
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Do 21.02.2008 | | Autor: | peterinsam |
[mm] a_k, b_k =1[/mm]
wenn Du z.B. [mm] \sum_{k=0}^{N} 1[/mm] kommt N+1 raus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Do 21.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo nochmals....
wie kommst du auf das???
vielleicht klingt das jetzt etwas blöd, aber wie?
kannst du mir das erklären bitte.
danke
mfg koko
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Do 21.02.2008 | | Autor: | peterinsam |
Also wir haben gegeben:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^k*\summe_{k=0}^{\infty}x^k=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)*x^k[/mm]
jetzt lass uns das mal mit Leopolds formel vergleichen:
$ [mm] \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} b_k x^k \right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} c_k x^k [/mm] \ \ [mm] \text{mit} [/mm] \ \ [mm] c_k [/mm] = [mm] \sum_{\nu = 0}^{k} a_{\nu} [/mm] b _{k - [mm] \nu} [/mm] $
[mm] a_k, b_k [/mm] sind in diesem Fall konstant =1 so weit alles klar?
Jetzt wenden wir $\ [mm] c_k [/mm] = [mm] \sum_{\nu = 0}^{k} a_{\nu} [/mm] b _{k - [mm] \nu} [/mm] $
auf unsere [mm] a_k und b_k [/mm] an.
$\ [mm] c_k [/mm] = [mm] \sum_{\nu = 0}^{k} [/mm] 1*1=k+1 $
Jetzt setzen wir [mm] c_k=k+1[/mm] wieder in die Summe ein.
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}c_k*x^k=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)*x^k[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Do 21.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo nochmals...
aber ich versteh das irgendwie nicht.....
also ich hab in meinem skript stehen,
[mm] \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} b_k \right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} c_k \text{mit} [/mm] $ \ [mm] c_k [/mm] = [mm] \sum_{\nu = 0}^{k} a_{\nu} [/mm] b _{k - [mm] \nu} [/mm] $ und nicht wie ihr gesagt habt:
$ [mm] \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} b_k x^k \right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} c_k x^k [/mm] \ \ [mm] \text{mit} [/mm] \ \ [mm] c_k [/mm] = [mm] \sum_{\nu = 0}^{k} a_{\nu} [/mm] b _{k - [mm] \nu} [/mm] $ mit [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] gleich 1,
sondern [mm] a_k=b_k=x^k
[/mm]
warum soll den [mm] a_k=b_k [/mm] gleich eins sein, das versteh ich nicht?
mfg koko
|
|
|
| |
|
> also ich hab in meinem skript stehen,
>
> [mm]\left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} b_k \right)[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^{\infty} c_k \text{mit}[/mm] [mm]\ c_k = \sum_{\nu = 0}^{k} a_{\nu} b _{k - \nu}[/mm]
Hallo,
Du willst
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^k\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}x^k=\summe_{k=1}^{\infty}(k+1)\cdot{}x^k [/mm] $
berechnen.
Damit Du die Formel fürs Cauhyprodukt verwenden kannst, sei ein bißchen nett zu Dir und sage
[mm] a_k:=x^k
[/mm]
[mm] b_k:=x^k.
[/mm]
Dann hast Du
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^k\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}x^k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}b_k
[/mm]
= [mm]\sum_{k=0}^{\infty} c_k \text{mit}[/mm] [mm]\ c_k = \sum_{\nu = 0}^{k} a_{\nu} b _{k - \nu}[/mm] = [mm] \sum_{\nu = 0}^{k} x^{\nu}x^{k - \nu}=\sum_{\nu = 0}^{k}x^{k}= [/mm] ???,
also ist das gesuchte Produkt
[mm] =\sum_{k=0}^{\infty}...
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 21.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo...
ok danke, ich hatte ja das auch gemeint das [mm] a_k=b_k=x^k [/mm] ist, aber die davor hatten ja geschireben das [mm] a_k=b_k=1 [/mm] ist......das hat mich verwirrt, oder hatten die doch recht, denn jetzt hab ich im internet auch so ne formel gefunden???
das bringt mich jetzt durcheinander.....
die lösung ist ha [mm] ...\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)*x^k....richtig [/mm] oder?
danke
mfg koko
|
|
|
| |
|
> aber die davor hatten ja geschireben das [mm]a_k=b_k=1[/mm]
> ist......das hat mich verwirrt, oder hatten die doch recht,
Ich habe nicht den ganzen Thread durchgelesen, kanns dazu also im Moment nichts sagen.
> die lösung ist ha [mm]...\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)*x^k....richtig[/mm]
> oder?
Ja, sicher - das wußtest Du ja auch schon vorher.
Wesentlich ist, daß Du den einen Weg jetzt einwandfrei nachvollziehen kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> aber die davor hatten ja geschireben das [mm]a_k=b_k=1[/mm]
> ist......das hat mich verwirrt, oder hatten die doch recht,
> denn jetzt hab ich im internet auch so ne formel
> gefunden???
>
> das bringt mich jetzt durcheinander.....
Hallo,
manchmal führen mehrere Wege zum Ziel, und die beiden Dir von den Kollegen und mir vorgestellten unterscheiden sich nicht so sehr:
ich habe die Formel fürs Cauchyprodukt von Reihen verwendet, LeopoldGast die vorbereitete Formel für die Multiplikation von Potenzreihen.
Wenn Du in [mm] \summe_{i=0}^{k}a_kx^k [/mm]
[mm] a_k:= [/mm] 1 setzt, ist [mm] \summe_{i=0}^{k}a_kx^k=\summe_{i=0}^{n}x^k.
[/mm]
Das ist doch wirklich kein Hexenwerk, oder? Und für [mm] b_k [/mm] genauso.
LeopoldGast schrieb:
"$ [mm] \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} b_k x^k \right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} c_k x^k [/mm] \ \ [mm] \text{mit} [/mm] \ \ [mm] c_k [/mm] = [mm] \sum_{\nu = 0}^{k} a_{\nu} [/mm] b _{k - [mm] \nu} [/mm] $ "
Für [mm] a_k=b_k=1 [/mm] für alle k erhält man
[mm] \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} b_k x^k \right) =\summe_{i=0}^{n}x^k\summe_{i=0}^{n}x^k=c_k x^k [/mm] \ \ [mm] \text{mit} [/mm] \ \ [mm] c_k [/mm] = [mm] \sum_{\nu = 0}^{k}1* [/mm] 1= ???
Gruß v. Angela
|
|
|
|
