Reihe Konv. od. Div? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}+k^{2}}{\wurzel{2k^{4}+1}} [/mm] |
Ich soll zeigen ob die obige Reihe konvergent oder divergent ist, nur wie mache ich das? Wäre nett wenn mir mal jemand einen Ansatz zeigen kann, wie ich umformen muss und welches Kriterium ich anwenden muss. Ich sehe sowas nie.
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Di 12.05.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}+k^{2}}{\wurzel{2k^{4}+1}}[/mm]
>
> Ich soll zeigen ob die obige Reihe konvergent oder
> divergent ist, nur wie mache ich das? Wäre nett wenn mir
> mal jemand einen Ansatz zeigen kann, wie ich umformen muss
> und welches Kriterium ich anwenden muss. Ich sehe sowas
> nie.
Hallo,
die einzelnen Summanden gehen schon nicht gegen Null, sondern gegen die Wurzel aus 0,5 (das siehst du, wenn du im Zähler [mm] k^2 [/mm] als Wurzel aus [mm] k^4 [/mm] schreibst).
Wenn schon die Summandenfolge keine Nullfolge ist, konvergiert die Reihe erst recht nicht.
Gruß Abakus
>
> Greetz
> Ganzir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | das siehst du, wenn du im Zähler $ [mm] k^2 [/mm] $ als Wurzel aus $ [mm] k^4 [/mm] $ schreibst) |
Hallo Abakus,
ich verstehe deinen Ansatz einiger Maßen, ich weiß, dass wenn [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}
[/mm]
Dann muss [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_{k} [/mm] = 0 sein, sonst divergiert die Reihe.
Das [mm] a_{k} [/mm] in meinem Fall lautet ja nun $ [mm] \bruch{(-1)^{k}+k^{2}}{\wurzel{2k^{4}+1}} [/mm] $
Diese kann ich, sofern ich dich richtig verstanden habe auch so schreiben:
[mm] \bruch{(-1)^{k}+\wurzel{k^{4}}}{\wurzel{2k^{4}+1}}
[/mm]
Du kannst jetzt schon sagen was, dass das ganze gegen die Wurzel von 0,5 läuft, da im Nenner immer ca. das doppelt von dem Steht was im Zähler steht und die +1 bei k gegen [mm] \infty [/mm] unbedeutend wird.
Kann ich das nun jetzt noch irgendwie zeigen .... mittels l'Hospital zum Beispiel?
Greetz
Ganzir
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Hallo Ganzir,
> [mm]\bruch{(-1)^{k}+k^{2}}{\wurzel{2k^{4}+1}}[/mm]
> [...]
> Kann ich das nun jetzt noch irgendwie zeigen .... mittels
> l'Hospital zum Beispiel?
[mm] \bruch{(-1)^{k}+k^{2}}{\wurzel{2k^{4}+1}}=\bruch{\bruch{(-1)^{k}}{k^2}+\bruch{k^{2}}{k^2}}{\bruch{\wurzel{2k^{4}+1}}{k^2}}=\bruch{\bruch{(-1)^{k}}{k^2}+1}{\wurzel{2\bruch{k^{4}}{k^4}+\bruch{1}{k^4}}}=\bruch{\bruch{(-1)^{k}}{k^2}+1}{\wurzel{2+\bruch{1}{k^4}}}
[/mm]
Und damit jetzt den Grenzwert für [mm] k\rightarrow\infty [/mm] bilden.
Herrn de l'Hospital darfst Du ruhig seinen Mittagsschlaf gönnen, er ist ja schon etwas älter.
> Greetz
> Ganzir
Hmpf. Denglisch.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
Hallo reverend,
vielen Dank nach sowas habe ich gesucht, wenn ich es sehe kann ich es auch wunderbar nachvollziehen nur komme ich nie von selbst auf solche Geschichten.
Greetz
Ganzir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Di 12.05.2009 | | Autor: | reverend |
Reine Übungssache. Klappt eigentlich immer, wenn die größte Potenz im Zähler (hier [mm] k^2) [/mm] und die größte Potenz im Nenner (hier [mm] \wurzel{k^4}=k^2, [/mm] auch wenn man's ja gar nicht herausziehen kann) gleich sind.
Grüße,
rev
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