Reihe Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Di 20.03.2007 | | Autor: | Sahra485 |
| Aufgabe | Untersuchen ob die folgenden Reihen konvergieren
a) [mm] \summe_{}^{} \bruch{j+1}{2j^2 +1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{}^{} \bruch{j+1}{2^j} [/mm] |
Meine Lösung zu a.)
[mm] \bruch{1}{2j} \le \bruch{j+1}{2j^2 +1} \le \bruch{1}{j}
[/mm]
Es folgt nach dem MajorantenKrit. :
da (harm.Reihe) 1/j divergent ist ist auch 1/2j divergent
und somit ist die Reihe [mm] \bruch{j+1}{2j^2 +1} [/mm] divergent
Meine Frage: Ist der Lösungsweg korrekt?
Meine Lösung zu b.)
Nach Quotientenkrit. :
[mm] \bruch{ \bruch{j+2}{2^(j+1)}}{ \bruch{j+1}{2^j}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\bruch{j+1}{j+2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1
Also Reihe ist absolut konvergent und somit auch konvergent
Meine Frage: Wenn ich nun zusätzlich den Grenzwert berrechnen will,
wie wird dieser berrechnet?
Vielen Danke für jede Hilfe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich sage nicht mit 100% Sicherheit. Oder doch. Doch
es ist richtig, beides 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 20.03.2007 | | Autor: | Ibrahim |
Hallo sahra
zu1) [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{j+1}{2*j²+1}=0
[/mm]
zu2) [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{j+1}{2j}=\bruch{1}{2}
[/mm]
ich hoffe, daß ich dir gehilfen habe.
Ibrahim
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dies ist im anderen Zusammenhang zwar richtig, aber hier wohl falsch.
Den lim 1/x = 0m auch aber die entsprechende Reihe ganz bestimmt nicht.
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Hallo Ibrahim,
es ist doch folgendes gesucht:
(1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=1}^{n}\bruch{j+1}{2j^2+1}
[/mm]
(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=1}^{n}\bruch{j+1}{2^j}
[/mm]
Der GW ist doch bei (2) auf jeden Fall größer als 2, denn die ersten beiden Summanden sind ja schon jeweils 1
Gruß
schachuzipus
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Hallo Sarah,
zu [mm] \summe_{j}\bruch{j+1}{2^j} [/mm] hab ich einen kleinen Ansatz, aber ob der es bringt, weiß ich nicht:
Also du kannst die Reihe etwas umschreiben:
[mm] \summe_{j}\bruch{j+1}{2^j}=\summe_{j}\bruch{j}{2^j}+\summe_{j}\bruch{1}{2^j}=\summe_{j}\bruch{j}{2^j}+\summe_{j}\left(\bruch{1}{2}\right)^j
[/mm]
Die hintere Reihe ist eine geometrische Reihe [mm] \summe_{j}q^j [/mm] mit [mm] q:=\bruch{1}{2} [/mm] und strebt daher gegen [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}=2
[/mm]
Also muss die Summe der beiden Reihen doch gegen irgendeinen Wert [mm] \ge [/mm] 2 streben, denn die Sumanden in der ersten Summe sind sämtlich [mm] \ge [/mm] 0
Aber wie man [mm] \summe_{j}\bruch{j}{2^j} [/mm] weiter verarztet, da fällt mir auch nichts zu ein ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Naja, trotzdem viel Erfolg 
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 20.03.2007 | | Autor: | Sahra485 |
Unklar ist noch die b.)
Der Grenzwert müsste doch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{j+1}{2^j} [/mm] = 3
Hab es mit maple herausgefunden, aber die Berechung ist mit unklar?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Di 20.03.2007 | | Autor: | statler |
Hi Sarah!
> Unklar ist noch die b.)
>
> Der Grenzwert müsste doch
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{j+1}{2^j}[/mm] = 3
>
> Hab es mit maple herausgefunden, aber die Berechung ist mir
> unklar?
Da hast du grad noch die Kurve gekriegt und aus der 4 eine 3 gemacht. Die eine Teilsumme ist eine geometrische Reihe, und die andere findest du, wenn du die geometrische Reihe für 1/x nach x ableitest und dann x=2 setzt.
Ich muß jetzt offline gehen, viel Spaß.
Dieter
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Hallo Dieter,
könntest du das mit dem Bestimmen des Wertes von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n} [/mm]
bitte mit ein bis zwei Schritten erläutern, ich kriege gerade nicht auf die Reihe, was du meinst.
Danke schonmal im Voraus und schönen Gruß aus Kölle
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Fr 30.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dieters Weg: betrachte
statt [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm]
[mm]g(x)=\summe_{n=1}^{\infty} n*x^n[/mm]
und vergleiche mit [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty} x^n[/mm]
bilde f' gliedweise innerhalb des Konvergenzbereichs:
[mm]f'=\summe_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}}[/mm]
und vergleiche mit g(x) , du siehst f'=x*g
f' kennst du, am Ende wieder x=1/2
Mir liegt es naeher, das wie oben schon gesagt
von [mm]S_N=\summe_{n=1}^{N} \bruch{n}{2^n}[/mm]
[mm] 1/2*S_N [/mm] subtrahieren, und die Summe so direkt zu berechnen.
(im allgemeinen behandelt man diese Reihen und Konvergenz vor dem Satz ueber gliedweise Differentiation)
Gruss leduart
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Jo erstmal dankeschön @ leduard
Werde es mir morgen in aller Gemütlichkeit mal "reinziehen".
Nochmal danke für die Mühe(n)
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Di 20.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sarah
> Untersuchen ob die folgenden Reihen konvergieren
>
> a) [mm]\summe_{}^{} \bruch{j+1}{2j^2 +1}[/mm]
>
>
> b) [mm]\summe_{}^{} \bruch{j+1}{2^j}[/mm]
> Meine Lösung zu a.)
>
> [mm]\bruch{1}{2j} \le \bruch{j+1}{2j^2 +1} \le \bruch{1}{j}[/mm]
>
hier fehlen die Zwischenschritte fuer den Beweis der Ungleichung! und du brauchst nur den 1. Teil!
> Es folgt nach dem MajorantenKrit. :
> da (harm.Reihe) 1/j divergent ist ist auch 1/2j
> divergent
Schreibweise nicht so zum Abgeben 1/2j ist nicht div sondern die Summe!
> und somit ist die Reihe [mm]\bruch{j+1}{2j^2 +1}[/mm]
> divergent
>
> Meine Frage: Ist der Lösungsweg korrekt?
ja.
> Meine Lösung zu b.)
>
> Nach Quotientenkrit. :
>
> [mm]\bruch{ \bruch{j+2}{2^(j+1)}}{ \bruch{j+1}{2^j}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2} (\bruch{j+1}{j+2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1
kleiner Fehler :
=[mm]\bruch{1}{2} (\bruch{j+2}{j+1})[/mm]
hier kannst du nicht -1/2 schreiben da es groesser 1/2 ist, also noch dazu <1 abschaetzen!
> Also Reihe ist absolut konvergent und somit auch
> konvergent
>
> Meine Frage: Wenn ich nun zusätzlich den Grenzwert
> berrechnen will,
> wie wird dieser berrechnet?
mit aehnlichem Trick wie die Summe der geom. Reihe!
zieh von der Summe die Summe [mm] \bruch{j}{2^j} [/mm] ab, beihnahe die erste Reihe *1/2, dann hast du ne geom. Reihe.
Gruss leduart
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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