Reihe Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(x+n)^{-1} [/mm] |
Hey,
Die Aufgabe scheint mir eigentlich recht einfach zu sein. Ich weiß ja, dass die harmonische Reihe nicht konvergiert, also divergiert [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(n)^{-1}
[/mm]
Allerdings ist die harmonische Reihe ja größer als meine gegebene Reihe und somit unnütz als Majorante/Minorante.
Auch mit dem Quotienten-/Wurzelkriterium wüsste ich nicht, wie ich zur Lösung kommen könnte...oder kann ich einfach dahingehend argumentieren, dass x eine Konstante ist und im Unendlichen vernachlässigbar ist?
vllt hat jemand von euch ne Idee? Würde mich sehr freuen...
Liebe Grüße
Sabine
|
|
| |
|
Hallo!
> Überprüfen Sie, ob die folgende Reihe konvergiert:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(x+n)^{-1}[/mm]
> Hey,
> Die Aufgabe scheint mir eigentlich recht einfach zu sein.
> Ich weiß ja, dass die harmonische Reihe nicht konvergiert,
> also divergiert [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(n)^{-1}[/mm]
> Allerdings ist die harmonische Reihe ja größer als meine
> gegebene Reihe und somit unnütz als Majorante/Minorante.
So sieht es zunächst aus.
Faktisch ist das aber nicht so.
Du kannst dir merken: Wenn eine Reihe "so aussieht" wie eine harmonische Reihe, dann kannst auch immer mit Hilfe des Minorantenkriteriums und der harmonischen Reihe die Reihe zum Divergieren bringen.
Du hast also gegeben:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+x}$
[/mm]
?
Hast du auch gegeben, aus welchem Bereich x stammt?
Du kannst beim Beweis so vorgehen:
1. $x [mm] \le [/mm] 0$. Dann kannst du die Reihe mit dem Minorantenkriterium ganz normal verarzten.
2. $x > 0$. Du könntest zum Beispiel Folgendes machen:
Die harmonische Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] ist divergent.
Deswegen ist auch [mm] $(x+1)*\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n*(x+1)}$ [/mm] divergent.
Nun gilt [mm] $\frac{1}{n+x} \ge \frac{1}{n + n*x} [/mm] = [mm] \frac{1}{n*(1+x)}$
[/mm]
(da $n [mm] \ge [/mm] 1$).
Also...
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Do 15.04.2010 | | Autor: | fred97 |
x ist fest. Es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit N>|x|. Rechne nun nach, dass
[mm] $\bruch{1}{x+n}> \bruch{1/2}{n}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N
ist
FRED
|
|
|
|
